49) Абсолютний екстремум

f(x) неперервна на [a,b]. Тоді згідно з 2-ю т.Вейєрштраса функція досягає на цьому сегменті своїх верхніх та нижніх меж. Найбільше і найменше значення f(x) на сегменті слід шукати в критичних і межових точках. Нехай x₁..x_k – критичні точки. Тоді max(f(x))=max{f(a),f(b),f(x₁)…f(x_k)}.

min(f(x))=min{f(a),f(b),f(x₁)..f(x_k)}.

Напрям опуклості графіка функції

f(x)- диференційовна на (a,b) =>  в  точці дотична на парал. OY.

Графік f(x) опуклий вниз(вгору) на (a,b), якщо він розташований не нижче (не вище)  своєї дотичної.

Теорема:

Нехай функція f(x) двічі диференційована на (a,b). Якщо x(a,b) f’’(x)0 (f’’(x) 0) то графік функції опуклий вниз (вгору).

Доведення:

x(a,b) f’’(x)0

Зробимо деякі геометричні побудови.

 x(a,b), xс

MB-дотична.

MD||CX

AN=y, AB=Y, AD=f(c)

y-Y0

Одержимо рівняння дотичної

BD/MD=tgBMD =(Y-f(c))/(x-c)=

f’(c) => Y=f(c)+f’(c)(x-c) (1)

Розкладемо f(x) в околі т. x=c за ф. Тейлора:

Y=f(x)=f(c)+(f’(c)(x-c))/1!+

+(f’’()(x-c)²)/2! (2)

З (1) та (2) => y-Y=(f’’()(x-c)²)/2!0

=> y-Y0

Точки перегину

Означення:

Точкою перегину називається точка х₀, якщо:

1) в т. х₀ f(x) є диференційовною

2) при переході через х₀ графік зміноє напрям опуклості на протилежний.

Теорема 1:(необхідна умова)

Якщо графік ф-ції має перегин при х=х₀, то 2-а похідна =0 або не .

Теорема 2:(1-а дост. умова)

Нехай виконані умови:

1) y=f(x) двічі диф. в деякому околі т. х_0.

2) f’(x) – cкінченна або нескінченна.

3)При переході через х₀ f’’(х) змінює знак на протилежний.

Тоді графік ф. y=f(x) в т. M(х₀,f(х₀)) має перегин.

Теорема 3:(2-а дост. умова)

Нехай виконані умови:

1) f’’(x)=0

2) f’’’(x)0

Тоді графік ф. y=f(x) в т. M(х₀,f(х₀)) має перегин.

Теорема 4:(3-а дост. умова)

Нехай виконані умови:

1) f(x) n-раз диф. в деякому околі т. х_0. f(x) n+1 -раз диф. в т. х_0.

2) f’’(x₀)=f’’’(x₀)=…=f⁽ⁿ⁾(x₀)=0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)0

3) n=2k, kN

Тоді графік ф. y=f(x) в т. M(х₀,f(х₀)) має перегин.

52 Ассимптоты графика ф-ции т-ма о накл. Асс. Симм. И период. Ф-ции. Схема построения.

Прямая x=a явл. верт. асс. если выполняется хотя бы одно из: lim f(x)=(xa+0);

lim f(x)= (xa-0).

Прямая y=kx+b явл. накл асс графика y=f(x) при х+ если f(x)=k(x)+b+α(x) при чем α(x)=0 при x+.

Т-ма о накл асс. для того чтобы график имел наклонную асс необходимо и дост, чтобы сущ:

lim f(x)/x =k (x+) (1)

lim [f(x)-kx]=b (x+). (2)

Док-во

1. необход. Пусть имеет асс. тогда limf(x)/x=lim(kx+b+α(x))/x=

lim[k+b/x+α(x)/x]=k (x+);

lim [f(x)-kx]=lim[b+ α(x)]=b.

2.дост пусть сцущ эти пределы. Тогда (2) Позвол утверждать: f(x)-kx-b, бес/м при х+

обозначим эту разность α(х) и получим выражение: f(x)=kx+b+α(x). Доказано.

Если f(-x)=f(x) то график функции симметр относ оси ОХ.

Если f(-x)=-f(x) то график ф-ции симметр относ т. О(0;0)

Схема постр. гр. ф-ции :

1. находим обл. опред.

2. определяем симметр.

3. находим асс. графика.

4. находим области возр/убыван. и т-ки экстремума.

5. найти т-ки пересечения графика с осями корд.

6. определ. др. гр ф-ции.

7. строим график.

53 Понятие первообразной и неопред. Интеграл. Т-ма. Сл-е. Осн св-ва неопр. Интегр.

Первообразн.для f(x) на (a;b) наз ф-ю F(x) если для люб х из (а,б) F(x) диффер и F’(x)=f(x).

Т-ма: если F(x) и U(x) – любые пр для f(x) то для люб х будет: F(x)-U(x)=C=Const.

Док-во: пусть Ф(х)=F(x)-U(x). Т.к. F(x) U(x) диф на промеж, тогда и Ф(х)- диф на этом промежутке. При чем Ф’(x)=F’(x)-U’(x)=f(x)-f(x)=0. а если Ф’(x)=0 то это константа.

Сл-е: если F(x)-одна из первообразных для f(x) то люб. Первообр. Для f(x) задается ф-лой: f’(x)=F(x)+c. Где с- некот пост.

Совок. Всех первообр для f(x) наз неопр интеграл от ф-ции и обозн: ∫f(x)dx.

Осн св-ва неопр интегр:

1. d∫f(x)dx=f(x)dx+C;

2. ∫f’(x)dx=f(x)+C;

3. ∫dF(x)=F(x)+C;

4. ∫[f(x)+-g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx;

5. ∫[A*f(x)]dx=A*∫f(x)dx.