Питання для самоконтролю.

1. що називають визначником другого порядку, третього порядку?

2. що називають мінором елемента визначника?

3. що називають алгебраїчним доповненням елемента визначника?

4. які властивості визначників Ви знаєте?

5. як розв’язується система трьох лінійних неоднорідних рівнянь з трьома невідомими?

6. як розв’язується система трьох лінійних однорідних рівнянь з трьома невідомими?

7. що називають матрицею, які існують види матриці?

8. які операції можна виконувати над матрицею?

9. як формулюється теорема Кронеккера-Капеллі?

10. як розв’язується система лінійних неоднорідних рівнянь матричним методом?

Векторна алгебра Додавання векторів. Множення вектора на скаляр

О значення: Вектором називається напрямлений відрізок , в якому точка A розглядається як початок вектора, а точка B – як кінець вектора. В

А

Модуль (довжину) вектора позначають .

Нульовим вектором називається вектор, початок і кінець якого співпадають.

Рівними називаються вектори, які мають однакові довжини та напрямки.

Колінеарними називаються вектори, які розташовані на одній прямій, або на паралельних прямих.

Компланарними називаються вектори, що лежать в одній площині.

Сумою двох векторів та називається вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора , при умові, що початок співпадає з вектором .

Добутком вектора на число (скаляр) m називається вектор , що має довжину a і направлений однаково з (при m >0) і протилежна (при m<0).

Проекція вектора на вісь: Нехай вектор утворює кут з віссю OX. Тоді проекцію вектора на цю вісь визначає формула = •cos

Прямокутні координати вектора в просторі

Координатами вектора називається проекція вектора на осі координат.

Нехай вектор має координати , тобто

= ( ) і утворює з осями координат кути , тоді ; ;

- називаються напрямними косинусами вектора . Для напрямних косинусів вектора виконується рівність

Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.

Наприклад, вектор , початок якого знаходиться в точці A(2;-3;0), а кінець – в точці B(1;1;2) має координати

= (1 – 2; 1 + 3; 2 – 0 ) = ( -1;4;2).

Радіус вектора ,де точка О–початок координат позначають .

Модуль або довжина радіус-вектора r =

Одиночні вектори координатних осей , називається ортами

Вправи

1. Дано три послідовні вершини паралелограма

А(1;-2;3); В(3;2;1); С(6;4;4). Знайти його четверту вершину D.

2. Задані точки А(1;2;3) та В(3;-4;6). Треба:

   1. Знайти координати вектора ;

   2. Знайти та косинуси кутів , що утворює вектор з осями координат.

Скалярний добуток двох векторів

Означення: Скалярним добутком двох векторів називається добуток їх модулів, помножений на косинус кута між векторами.

Якщо та задані координатами то

Умова паралельності: = m· , або

Умова перпендикулярності: або