Часть 3. Обработка результатов многократных измерений

№	xi	№	xi	№	xi	№	xi	№	xi	№	xi	№	xi	№	xi	№	xi	№	xi
1	21,52	11	21,43	21	21,65	31	21,57	41	21,57	51	21,82	61	21,78	71	21,70	81	21,49	91	21,53
2	21,91	12	21,74	22	21,61	32	21,64	42	21,68	52	21,57	62	21,64	72	21,56	82	21,57	92	21,58
3	21,51	13	21,75	23	21,47	33	21,78	43	21,52	53	21,63	63	21,83	73	21,65	83	21,43	93	21,54
4	21,40	14	21,64	24	21,83	34	21,68	44	21,77	54	21,59	64	21,41	74	21,65	84	21,84	94	21,36
5	21,60	15	21,53	25	21,54	35	21,67	45	21,36	55	21,41	65	21,43	75	21,83	85	21,65	95	21,46
6	21,71	16	21,74	26	21,56	36	21,40	46	21,80	56	21,87	66	21,67	76	21,70	86	21,52	96	21,68
7	21,80	17	21,59	27	21,79	37	21,73	47	21,65	57	21,86	67	21,62	77	21,38	87	21,64	97	21,53
8	21,55	18	21,57	28	21,42	38	21,27	48	21,55	58	21,58	68	21,82	78	21,35	88	21,60	98	21,40
9	21,53	19	21,57	29	21,42	39	21,72	49	21,57	59	21,95	69	21,74	79	21,65	89	21,53	99	21,58
10	21,68	20	21,81	30	21,54	40	21,76	50	21,60	60	21,30	70	21,53	80	21,36	90	21,60	100	21,28

таблица 1

1. Определяем значения среднего арифметического , стандартного отклонения S_Х измеряемой величины и среднего арифметического .

2. Проверка наличия грубых промахов.

Воспользуемся правилом «трех сигм»:

,

.

Таким образом, ни один из результатов не выходит за границы интервала , следовательно, с вероятностью 0,95 гипотеза об отсутствии грубых погрешностей принимается

3. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности.

Для того чтобы построить гистограмму, необходимо результаты отдельных измерений расположить в так называемый вариационный ряд по возрастанию их численных значений.

Участок оси абсцисс, на котором располагается вариационный ряд значений физической величины, разбивается на k одинаковых интервалов . При выборе числа интервалов следует придерживаться следующих рекомендаций:

Число измерений «n»	Число интервалов «k»
40-100	7-9
100-500	8-12
500-1000	10-16
1000-10000	12-22

Тогда:

Начало первого интервала выбирается таким образом, чтобы это значение оказалось меньше, чем минимальный результат вариационного ряда. Последний интервал должен покрывать максимальное значение ряда. Выберем начало первого интервала в точке 22,165, тогда конец последнего

(11-го) интервала окажется в точке 22,66045

Затем для каждого интервала подсчитывается количество результатов m_i, попавших в данный интервал и определяется

.

Учтем что, если в интервал попадает меньше пяти наблюдений, то такие интервалы необходимо объединить с соседними, соответственно изменяя и параметр . Так объединим в один первые три интервала и последние два . Общее число интервалов станет равным 7.

Результаты производимых вычислений занесем в таблицу 2, а затем построим саму гистограмму

Из вида гистограммы на рис.1 можно сделать предположение о том, что вероятность результата измерения подчиняется нормальному закону. Проверим правдивость этой гипотезы.

4. Для проверки нормальности закона применим критерий Пирсона.

Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используем функцию Лапласа:

,

где – значения соответствующие началу и концу интервала.

Для каждого из этих значений рассчитаем относительный доверительный интервал t по формуле:

.

Затем из таблиц Лапласа найдем соответствующие значения функций Ф( ) и Ф( ). При этом будем иметь в виду, что конец предыдущего интервала является началом последующего.

Произведем численный расчет.

Ф( = -0.4927

Ф( =-0.3599

Ф( =-0.2389

Ф( =-0.0832

Ф( =0.0871

Ф( =0.2422

Ф( =0.3621

=-1,08

=-0,65

=-0,21

=0,22

=0,65

=1,09

=2.39

-0.3599

-0.2422

-0.0832

0.0871

0.2422

0.3621

0.4918

На основании вычисленных значений функции Лапласа получаем:

- =0.1328

- =0.1177

- =0.1557

- =0.1703

- =0.1551

- =0.1199

- =0.1297

Рассчитанные значения занесем в таблицу 2 и на их основе произведем расчет значений - критерия для каждого интервала.

Значения критерия для отдельного интервала рассчитаем по формуле:

где n – общее количество проведенных измерений,

m – число результатов измерений, попавших в данный интервал.

=0.9268

Определим табличное (критическое) значение , задавшись доверительной вероятностью 0,95 и вычислив по формуле число степеней свободы:

Т.к. , следовательно, с вероятностью 0,95 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения принимается.

5. Представление результата в виде доверительного интервала.

Для этого определим стандартное отклонение среднего арифметического по формуле:

Закон распределения вероятности для среднего арифметического считаем нормальным (что следует из нормальности распределения самой измеряемой величины), тогда доверительный интервал определяется по формуле:

,

где t – параметр, который находится в зависимости от заданной доверительной вероятности. Доверительной вероятности 0,95 соответствует аргумент функции Лапласа.

Рассмотрим случай, когда закон распределения вероятности для среднего арифметического считается неизвестным, тогда относительный доверительный интервал рассчитывается в соответствии с неравенством Чебышева:

.

,

.

Как видно из сравнения результатов, неизвестность закона распределения вероятности приводит к расширению доверительного интервала, то есть к увеличению дефицита измерительной информации.

5

0

1

2

3

4

Таблица 2

i	Ui-1	Ui	mi			mi/n*∆U	ti-1	ti	Фi-1	Фi	Pi
1	22,165	22,215	4	14		0,933	-2,4396	-1,083	-0,4927	-0,3599	0,1328	0,03903
2	22,215	22,2595	4
3	22,259	22,3040	6
4	22,3040	22,3486	9	9		1,8	-1,0834	-0,649	-0,3599	-0,2422	0,1177	0,65190
5	22,3486	22,3931	17	17		3,4	-0,649	-0,214	-0,2389	-0,0832	0,1557	0,13133
6	22,3931	22,4377	14	14		2,8	-0,2147	0,2196	-0,0832	0,0871	0,1703	0,53910
7	22,4377	22,4822	21	21		4,2	0,21965	0,6539	0,0871	0,2422	0,1551	1,943268
8	22,4822	22,5268	12	12		2,4	0,654	1,0883	0,2422	0,3621	0,1199	8,3402835696439800E-06
9	22,5268	22,5713	8	13		0,866667	1,08834	2,39133	0,3621	0,4918	0,1297	6,93909E-05
10	22,5713	22,6159	4
11	22,6159	22,660	1
		∑	100