30. Определение первообразной функции. Теорема о числе первообразных. Доказательство.

Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Если F₁(x) и F₂(x) − две любые первообразные для f(x) на X, то F₂(x) − F₁(x) = C (C = const).

По другому: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C

где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) По условию функция F – первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F¢(x) = f(x) для любого x ϵ I, поэтому

(F(x) + C)¢ = F¢(x) + C¢ = f(x) + 0 = f(x),

т. е. F(x) + C – первообразная для функции f.

2) Пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф¢(х)= f(x) для всех x ϵ I. Тогда

(Ф(х) – F(x))¢ = Ф¢(х) - F¢(x) = f(x) – f(x) = 0.

Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) – F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х их промежутка I справедливо равенство Ф(х) – F(x) = С, что и требовалось доказать.

??? Неопределенный интеграл. Определение и свойства.

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на X называется неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке X и обозначается ∫ f(x)dx.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1°. d ∫ f(x) dx = f(x) dx.

2°. ∫ dF(x) =F(x) + C.

3°. Линейность интеграла. Если существуют первообразные функций f(x) и g(x), а α и β − любые вещественные числа, то существует первообразная функции αf(x) + βg(x), причем

∫ [αf(x) + βg(x)]dx = α ∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx.

31. Вычисление площади области под графиком функции. Вывод формулы Ньютона-Лейбница.

Одним из наиболее важных применений интеграла является вычисление площадей. Формулу для нахождения площади под графиком запишем так:

Формула Ньютона — Лейбница или теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции

и делаем вывод: если F — первообразная для f на [а; b] то

(1) Формула (1) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [а; b]

???.Вывод основных правил интегрирования.

( );
;

Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например, .