Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Oма для участка цепи:

, Y = 1/Z = ,

где Y = G – jB_L + jB_C - комплексная полная проводимость,

где G – активная проводимость цепи, B_L, B_С – индуктивная и ёмкостная проводимости цепи.

Первый закон Кирхгофа:

İ_k = 0,

где İ_k - токи, сходящиеся в одном узле.

Второй закон Кирхгофа:

= Z_kİ_k,

где - напряжения источников питания, расположенных в контуре; Z_k и İ_k - сопротивления и токи отдельных приемников энергии, расположенных в этом контуре.

Правильность построения векторной диаграммы легко проверить по I ЗК для узлов и по II ЗК для контуров путем сложения соответствующих векторов. Кроме того, получившиеся при построении углы φ и y должны соответствовать расчетным по величине и по знаку.

Пассивные элементы в цепи синусоидального тока

Для упрощения расчета электрической цепи синусоидального тока реальную цепь заменяют схемой замещения, составленной из так называемых «идеальных» элементов:

- резистивный элемент с активным сопротивлением R, Ом, или активной проводимостью G = 1/R, Cм;

- индуктивный элемент с индуктивностью L, Гн, и реактивным индуктивным сопротивлением X_L = 2πƒL, Ом или реактивной индуктивной проводимостью B_L = 1/X_L, См;

- емкостный элемент с емкостью С, Ф, и реактивным емкостным сопротивлением X_C = 1/2πƒC, Ом или реактивной емкостной проводимостью B_C = 1/X_C См.

При расчете цепей синусоидального тока (и простых, и сложных) все законы и методы расчета цепей постоянного тока действительны при условии, что все величины сопротивлений, напряжений и токов выражены в комплексных числах.

ЛЕКЦИЯ 4

Цепь с резистивным элементом

Элементы электрической цепи, обладающие только активным сопротивлением R, называют резисторами (реостат, лампа накаливания). Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением R приложено напряжение u = U_mахsinωt.

Электрическая цепь с резистивным элементом

В соответствии со II ЗК для мгновенного значения напряженя u = Ri, т. е.

I = U_mахsinωt/R = I_mахsinωt,

где

I_mах = U_mах/R или I = U/R.

Из вышеприведенного видно, что напряжение u и ток i в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе, что показано на векторной и временной диаграммах.

Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи равен

φ = j_u - j_i = 0° - 0° = 0°

Векторная диаграмма Временная диаграмма

цепи с R-элементом цепи с R-элементом

Запишем комплексные напряжение и ток цепи с резистивным элементом:

= e^j0; φ_u = 0°;

İ = Ie^j0; φ_i = 0° .

Тогда комплексное сопротивление цепи равно

Z = /İ = Ue^j0/Ie ^j0= R,

т. е. комплексное сопротивление цепи с резистивным элементом равно положительному вещественному числу, модуль которого равен R.

Определим мощность цепи:

p = ui = U_mахsinωtI_mахsinωt = U_mахI_mахsin²ωt = UI(1 – cos2ωt), (1.38)

т. е. напряжение и ток совпадают по фазе и мгновенное значение мощности всегда положительно. Таким образом, в цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Среднее значение мощности за период равно активной мощности, так как cosφ = 1.

Выразим полную мощность цепи в комплексной форме

S = = Se ^φj = UIcos0º + jUIsin0º = UI,

Р = UI = RI²,

_{где Р – активная мощность цепи, Вт, кВт, мВт.}

Полная мощность цепи с R-элементом равна активной мощности, которая характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразование в другие виды энергии. Это активный необратимый процесс.