1. Виды механического движения ?

Координатная и векторная формы задания положения материальной точки в пространстве. Рассмотренное нами движение вдоль прямой линии является частным случаем движения в реальном трехмерном пространстве. Найдем его объективные характеристики, выявив сначала особенности собственно пространственных отношений при t = const, а затем перейдем к описанию в мире событий.

Пример трехмерной ПСО приведен на рис. 2.3. В качестве системы координат выбрана декартова СК (положение точки задается тремя проекциями на оси x, y, z). На практике используют также полярные и сферические координаты. В сферических координатах положение точки задается с помощью двух углов o, , отмеченных на рис. 2.3, и радиус-вектора r).

К реальному пространству с высокой степенью точности применима геометрия Евклида, которая наиболее просто выглядит в декартовой системе координат. Положение частицы А в момент времени t задается ее тремя пространственными координатами: x, y, z.

Положение частицы А можно также характеризовать вектором расстояния r = OA = {x, y, z}, проведенным из начала отсчета в точку расположения частицы (см. рис. 2.3). Длина этого вектора равна:

. (2.1)

Объективные характеристики пространства. Рассмотрим теперь две произвольно расположенные частицы A и B. Расстояние между ними r находится по теореме Пифагора:

. (2.2)

Направление от одной частицы к другой задается через направляющие косинусы (косинусы углов между направлениями вектора r и соответствующей осью):

cos ₁ = x/r; cos ₂ = y/r; cos ₃ = z/r. (2.3)

Рассмотрим, как влияет на величину разности проекций частиц выбор начала координат СО (см. рис. 2.4). Исходя из рис. 2.4 видно, что:

инвариантными величинами являются разности координат, расстояние и направляющие косинусы, что в конечном итоге отражает такое свойство пространства как однородность.

Рассмотрим, как влияет на величину разности проекций частицы ориентация осей координат (см. рис. 2.5). Из геометрических соображений и простых тригонометрических преобразований следует, что:

x' = x·cos y·sin  y' = x·cos y·sin  z' = z; r' = r. (2.4)

Таким образом, инвариантом, по-прежнему, является расстояние, в то время как разность проекций частиц на оси координат не являются таковыми.

r = AB = {x, y, z}, (2.5) где x, y, z - проекции вектора r, проведенного от частицы A к частице B.

Инвариантность величины r по отношению к повороту осей координат отражает такое свойство пространства как изотропность, заключающееся в независимости длины отрезков от их ориентации относительно осей координат.

Что касается направления r, то его удобно связать с вектором e_r, модуль которого равен 1 (единичный вектор):

e_r = r/r = {cos ₁; cos ₂; cos ₃}. (2.6)

Тогда вектор перемещения можно выразить как произведение его модуля на единичный вектор

r = r·e_r. (2.7)

Скалярные и векторные величины в физике. Чтобы величина могла быть описана вектором, то для нее так же, как и для вектора расстояния должны выполняться следующие операции:

Совокупность численных значений величин f(x, y, z) в некоторой области пространства в данный момент времени называется скалярным полем.

Например: поле температур, давлений и т.п.

Совокупность численных значений величин и направлений вектора A(r) в некоторой области пространства в данный момент времени называется векторным полем.

Например: поле скоростей, поле напряженности электрического поля и т.п.

Физические законы, записанные в форме скаляров и векторов, являются инвариантными по отношению к выбору начала отсчета и поворота осей СО.

Поэтому физические законы, выраженные через скалярные и векторные величины и их комбинации, могут быть равноправны по отношению к выбору СО, являясь т.о. объективными.

Координатный и векторный способы задания движения в пространстве. Пусть скалярные f и векторные величины A зависят от времени:

f = f(t), A = A(t).

Поведение скалярной величины задается обычной аналитической зависимостью f(t). В случае векторов дело обстоит несколько сложнее. Существуют два способа выражения зависимости A = A(t):

Координатный способ. Введем характеристики для координатного способа описания движения. Очевидно, что все три направления вдоль осей OX, OY, OZ равноправны. Таким образом для материальной точки, перемещающейся в 3 мерном пространстве, число степеней свободы (число независимых координат, определяющих положение тела в пространстве) равно трем.

Ввиду равноправности трех взаимно перпендикулярных направлений (что является отражением такого свойства пространства как изотропность) движение частицы вдоль каждого из них можно описывать с помощью введенных ранее характеристик - проекций мгновенной скорости и ускорения на соответствующие оси координат. Только таких проекций будет три, а не одна, как в случае одномерного движения.

r(t) = x(t)·i + y(t)·j + z(t)·k, (2.8) где i, j, k - единичные вектора, направленные вдоль осей координат. i = {1,0,0}; j = {0,1,0}; k = {0,0,1}.

Вектора скорости и ускорения можно также выразить через их проекции и единичные вектора i, j, k:

v = v_x·i + v_y·j + v_z·k; a = a_x·i + a_y·j + a_z·k. (2.9)

Следовательно, описать движение координатным способом, т.е. найти зависимости x(t), y(t), z(t), можно предварительно определив зависимости соответствующих проекций скорости от времени _x(t), _y(t), _z(t).

К определению вектора перемещения.

Векторный способ заключается в нахождении зависимости r(t) = r(t)·e_r(t), т.е. задании величины и направления вектора r в любой момент времени. В случае плоского (двумерного) движения направление обычно задается в виде значения тангенса угла между вектором r и осью OX.

Для векторного способа описания движения важным является понятие вектора перемещения r, равного приращению вектора r за время t:

r = r(t + t) - r(t) = {x, y, z}. (2.10)

Непрерывная линия, по которой перемещается частица в пространстве называется траекторией.

Движение по траектории может происходить в любом направлении в отличии от перемещения частицы вдоль мировой линии. Уравнения траекторий в плоскостях XY, XZ, YZ можно получить путем исключения времени из графиков движения вдоль осей координат x(t), y(t), z(t).

По аналогии с координатным способом описания движения введем понятия векторов мгновенной скорости и ускорения:

(t) = lim r/t = dr/dt = r(t)·e_r(t). (2.11) a(t) = lim /t = (t)·e_(t). (2.12)

В векторном способе описания движения вектора  и a задаются значениями их модулей и указанием направлений.

Вектор r можно найти, исходя из векторного уравнения:

. (2.13)

Заметим, что одно векторное уравнение заменяет три скалярных.

Путь, пройденный частицей за конечный промежуток времени, задается выражением:

. (2.14)

Путь - это скалярная величина, неравная модулю вектора перемещения (их равенство наблюдается только в случае прямолинейного движения частицы в одном направлении).

Заметим, что вектора dr, а, следовательно, и  всегда направлены по касательной к траектории. Ускорение параллельно вектору d. Следовательно, по отношению к вектору скорости вектор ускорения может быть сориентирован под произвольным углом.

Поскольку в обоих способах описания движения мы исследовали одно явление, а характеристики, описывающие его, связаны между собой вполне определенными уравнениями (2.2, 2.3, 2.6 и 2.7), то координатный и векторный способы описания движения эквивалентны.