Вопрос 47 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то . Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство. Пример:

.

Вопрос 48 Применение определенного интеграла к вычислению площадей, длин дуг, объемов тел.

Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x). Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x₀ = a, x₁ , x₂ , …, x_n-1 = a, x_n = b на n частей [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; символом будем обозначать длину i-го отрезка: . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [x_i-1 , x_i] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _ступ: . S_ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S_ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между S_ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е. .

Вопрос 49

Матрицы. Сложение и умножение матриц, умножение на число.

Матрицей называется таблица чисел вида

Над матрицами, как и над числами, можно совершать следующие операции, вводимые по определению.

Транспонирование матриц.

А^Т называется транспонированной по отношению к матрице А_mxn с элементами a_ij, если столбцы матрицы А^Т являются строками матрицы А, а строки А^Т - столбцами матрицы А. Т.е. если А_mxn = (a_ij), то А^Т_mхn = (a_ji), i=1,..m, j=1,..n.

, то

Сложение матриц.

Суммой двух матриц A_mxn, B_mxn - одного размера называется матрица С_mxn, того же размера, элементы которой находятся по формуле: с_ij = a_ij + b_ij (i=1, ... m; j= 1, ... n),как суммы соответствующих элементов матриц А и B, при этом пишут:

Пример.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А_mxn на число k называется матрица С_mxn, элементы c_ij которой находятся по формуле c_ij = ka_ij при этом пишут С_mxn = kA_mxn

Пример.

Противоположная матрица.

Противоположной к матрице А_mxn называется матрица, обозначаемая (-А), такая что

Очевидно что: а) А + (-А) = 0 (сумма матрицы и противоположной к ней есть нулевая матрица)

б) А - В = А + (-В) (разность матриц А и В – это сумма А и противоположной к В матриц)

Умножение матрицы на матрицу.

Произведением матрицы A_mxn на матрицу В_nxk называется матрица С_mxk элементы которой находятся по формуле:

, i=1,...m; =1,2,...k.

а) А + (-А) = 0 (сумма матрицы и противоположной к ней есть нулевая матрица)

б) А - В = А + (-В) (разность матриц А и В – это сумма А и противоположной к В матриц)

Умножение матрицы на матрицу.

Произведением матрицы A_mxn на матрицу В_nxk называется матрица С_mxk элементы которой находятся по формуле:

, i=1,...m; =1,2,...k.

При этом пишут :

Замечание:

Эта операция существует, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В

Пример.

Замечание :Операция умножения матриц не обладает свойством перестановочности, т.е. АВ  ВА

Операции над матрицами, введенные выше, обладают следующими свойствами (при выполнении соглашений, оговоренных в определении операций):

1. А + В = В + А

2. А + (В + С) = (А + В) + С

3. (А + В) = А + В

4. А(В + С)= АВ + АС

5. (А^Т)^Т = А

6. (А + В)^Т = А^Т + В^Т

7. (А + В)С = АС + ВС

8. (АВ) = (А)В = А(В)

9. А(ВС) = (АВ)С

10. АЕ = А, (А квадратная матрица )

11. (А)^Т = А^Т

12. (АВ)^Т = В^ТА^Т