- •1.Задача о вычислении объема цилиндрического тела. Двойной интеграл.
- •2.Свойства двойного интеграла
- •3.Замена переменных в двойном интеграле.
- •4.Вычисление двойного интеграла в Декартовой системе координат.
- •5.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
- •6.Тройной интеграл.
- •7.Свойства тройного интеграла.
- •2.11. Свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат.
- •10. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •11.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля.
- •12.Производная по направлению скалярного поля.
- •13.Градиент скалярного поля, его свойства
- •14.Векторное поле. Векторные линии векторного поля.
- •15.Поверхностный интеграл первого рода, его свойства.
- •16.Методы вычисления поверхностного интеграла первого рода.
- •17.Поток векторного поля, его гидродинамический смысл.
- •18.Поверхностный интеграл второго рода, его свойства.
- •19.Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.
- •20.Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса.
- •22.Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •23.Задача о работе силового поля.
- •24.Криволинейный интеграл второго рода, его свойства.
- •25.Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •26. Формула Грина
- •27.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •28.Циркуляция вектора. Теорема Стокса.
6.Тройной интеграл.
Чтобы ввести понятие тройного интеграла, предварительно рассмотрим задачу о нахождении массы тела переменной плотности.
Пусть в системе координат Оxyz (рис. 2.18) задано некоторое ограниченное тело U с переменной плотностью γ=f(x;y;z)>0, (x;y;z) U.
Требуется приближенно вычислить массу этого тела.
Для этого разрежем это тело на n "достаточно мелких частей" ΔUi, i=1,2,...,n.
Внутри этого "кусочка" можно принять, что γ ≡ const=f(Mi), где Mi(x;y;z) - некая "средняя" точка в ΔUi.
Обозначим объём "кусочка" ΔUi через ΔVi, тогда масса "кусочка" ΔMi: ΔMi≈f(Mi)·ΔVi. А для всего тела:
√ получена интегральная сумма.
Затем переходим к пределу при n ∞ и ΔVi 0, i=1,2,...,n и получаем:
Если предел (2.23) интегральной суммы существует, то он называется тройным интегралом от функции f(x;y;z) по объему U и обозначается:
После этого можно сформулировать более точное и общее определение тройного интеграла.
Определение |
Пусть f(x;y;z), (x;y;z) U - произвольная функция трех переменных, U - ограниченная трехмерная область.
Разобьем U произвольным образом на части ΔU1, ΔU2,...,ΔUn. В каждой из них возьмем произвольную точку Mi(xi;yi;zi) Ui и составим интегральную сумму:
Если существует предел интегральной суммы:
не зависящий от способа разбиения U на n частей ΔU1, ΔU2,...,ΔUn, а также от произвола в выборе точек Mi Ui, то этот предел I обозначается через и называется тройным интегралом от функции f(x;y;z) по объёму U. При этом функция f(x;y;z) называется интегрируемой по U.
Теорема |
Определение |
В дальнейшем считаем, что все появляющиеся в тексте функции (если это не оговорено особо) интегрируемы по объёму.
*********************
7.Свойства тройного интеграла.
2.11. Свойства тройного интеграла
1. Физический смысл тройного интеграла |
2.Объём тела: |
Доказательство
Так как f(x;y;z)=I>0 на U, то - масса тела с плотностью γ=1.
Поэтому M=γ·V=1·V=V. В итоге I=V, что и требовалось доказать
3. |
4. |
5. |
6. |
7. Теорема |
Доказательство
Используем свойство (6):
Число I/U - является промежуточным значением непрерывной функции f(x;y;z), поэтому существует точка M*, такая, что
в итоге , что и требовалось доказать.
доказать.
***********************
8. Вычисление тройного интеграла в Декартовой системе координат.
dV=dxdydz
Пусть область интегрирования описывается с помощью неравенства
a≤x≤b
φ1(x)≤y≤φ2(x)
ψ1(x,y)≤z≤ψ2(x,y) ψ1 и ψ2 –непрерывные функции
Тогда для вычисления тройного интеграла имеет место следующая формула:
Интеграл, находящийся в правой части вычилсяется последовательным вычислением трех интегралов, начиная с внутреннего, причем все переменные, за исключением переменной интегрирования считаются постоянными.