27.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Пусть в области D заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(х,y) и M0M - гладкая дуга, лежащая в области D.
Рассмотрим
вопрос о независимости интеграла
от формы пути интегрирования. Имеет место следующая теорема.
Теорема |
Пусть функции P, Q, P'y, Q'x определены и непрерывны в односвязной, ограниченной замкнутой области D плоскости Оху.
Тогда следующие четыре условия равносильны между собой:
1)
,
где L
- замкнутый контур в области D;
2) интеграл не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек M0 и М;
3) Pdx + Qdy = dU - полный дифференциал некоторой функции U(x,y);
4)
в
каждой точке области D.
Идея доказательства этой теоремы: показывается, что из условия 1 условие 2 условие 3 условие 4 условие 1.
*****************************
28.Циркуляция вектора. Теорема Стокса.
Пусть поверхность S ограничена кусочно-гладким контуром L (рис. 3.14).
Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывно дифференцируемы на поверхности S.
Тогда имеет место формула Стокса:
т. е. формула Стокса устанавливает связь между интегралом по поверхности и криволинейным интегралом по контуру, ограничивающему эту поверхность (на рис. 3.14 показаны выбранная сторона поверхности и направление обхода контура L).
****************************