16.Дисперсия дискретной с.В и ее св-ва.Примеры расчета.

Дисперсией с.в. Х наз-ся мат.ожидание квадрата отклонения с.в. от ее мат.ожидания,т.е M(X-MX)^2=DX.

DX=M[X-M(X)]^2

Дисперсия-мера разброса с.в. вокруг е среднего значения(мат.ожидания).

Дисперсией дискретной с.в.Х наз-ся DX=E (xi-MX)^2*pi.

Величина сигмаХ=корень из DX называется средним квадратическим отклонением. Исп. Для оценки рассеяния возможных значений вокруг ее среднего зн-я кроме.

Св-ва дисперсии:

1.DX>=0 Дисперсия всегда положительна

2.Dc=0,c=const. (дисп. Пост-й вел-ны с=0)

3.D(cX)=c^2*DX (пост-й мн-ль можно выносить за знак дисп-ии, возводя его в кв-т).

4.Если с.в. Х1,...,Хn попарно независ.,то дисперсия суммы = сумме дисперсий

D(x+y)=Dx+Dy

5.Если с.в Х1,...,Хn-зависимы,то D(E Xi)=E D(Xi)+2E cov(Xi,Xj), где cov(X,Y)-ковариация с.в. X и Y. Cov- вел-на безразмерная, отражает меру завис-ти.

Примеры расчета:

1.Распределение Пуассона, DX=лямбда, MX=Л.

2.Биномиальное расп-е. DX=npq; MX=np.

3.Геометрическое распределение. DX=p/q^2; MX=p/q.

17.Ковариация,корреляция,начальные,центральные моменты,ассиметрия,эксцесс.

Ковариацией двух с.в. X и Y называется математическое ожиданние произвденеия отклоений с.в. от их мат. ожиданий.

cov(X,Y)=M[(X-MX)(Y-MY)] можно показать,что cov(X,Y)=M(XY)-MXMY.

Замечание:cov(X,Y)=M[XY-YMX-XMY+MX*MY]=M(X*Y)-MX*MY+MX*MY=M(X*Y)-MX*MY.

Ковариация отражает меру зависимости между с.в.,поскольку для независимых с.в. cov(X,Y)=0.

Опр-е:Коэфф-м корреляции с.в. X и Y называется отношение ковариации к корню дисперсии.

cor(X,Y)= cov(X,Y)/(корень(DX*DY)).

Св-ва коэффициента корреляции:

1.|cor(X,Y)|<=1

2.Если Х и Y- независ.,то cor(x,y)=0. независ=некоррелир.

cor(x,y) = (M(x*y)-MX*MY)/(корень(DX*DY))=MX*MY-MX*MY/(корень(DX*DY))=0

3.y=ax+b x,y-связаны лин.зависимостью,тогда cor(x,y) = 1,если a>0

-1,если а<0

Опр-е. Начальным моментом k-порядка наз-ся математ.ожидание X^k. MX^k=E xi^k*Pi

Опр-е.Центральным моментом k-порядка-математ.ожидание (X-MX)^k

M[(X-MX)^k] = E (xi-MX)^k*Pi

Опр-е.Ассиметрия А с.в.Х наз-ся А=M(X-MX)^3/сигма^3

Опр-е.Эксчессом эпсилон с.в.Х наз-ся Э=(M(X-MX)^4/сигма^4)-3

18.Индикатор случайного события и его свойства.

А-случ.событие. А(пренадлежит) F т.е.(принадлежит алгебре событий «Эф»)

Опр: Индикатором случ-го события А наз-ся случ. Вели-на, имеющая закон распределения: IA=IA(w)= {1, если (А) произошло и 0, если (А с чертой произошло).

С.в. IA наз-ся индикатором случайного события А и принимает значение 1,если событие А произошло с вероятностью P(A),и значение 0,если событие А не произошло (с вероятностью 1-Р(А)).

Св-ва индикатора:

1.Математич.ожидание индикатора случайного события равно вероятности этого события, MI(Aиндекс)=1*P(A)+0*(1-P(A))=P(A)

2. MIA^k=P(A), при любых k=1,2...Начальный момент к-порядка индикатора:MIA^k=1^k*P(A)+0^k*(1-P(A))=P(A)

3.Дисперсия индикатора. DIA=MIA^2-(MIA)^2=P(A)-P(A)^2=P(A)(1-P(A))

Применение индикатора в схеме Бернулли: Ii={1, успех в i-том испытании; 0, произошел неуспех в i-том испыт-ии.

M(мю)(n)-общее число успехов, кот.явл-ся с.в. Заметим,что ню(n)=E Ii и {Ii}-независимые с.в,тогда

Mm(мю)(n)= M (E(от 1 до n) Ii)= E MIi= np

Dm(мю)(n)= D (E Ii)= E (DIi-(а это pq))= npq