1.Осн.Понятия тв.

Наблюдаемые явления можно разделить на 3 вида: достоверные, невозможные и случайные.

1).Достоверное событие-событие,кот.всегда происходит. Напр.,при бросании кости число очков на верхн.грани меньше 7. A={число очков<7}=Л.

2).Невозможное событие-событие,кот. не происходит ни при каких условиях. Напр.,при бросании кости число очков больше 8. B={число очков>8}=O(перечеркн)

3).Случайное событие-явл-е, кот.может произойти или не произойти в рез-те стохастич.эксперимента. Стохастический эксперимент-эксперимент, рез-т которого нельзя предугадать заранее.(бросание монеты, кости). Обозн-ся загл.лат.буквами:A,B,C. Напр. Если брошена монета, то она может упасть так, что либо на верхней грани будет герб, либорещка. Поэтому событие при бросании монеты выпал «герб»-случайное.

4).Противоположное событие к событию А. А с черточкой. - это событие состоит в непоявлении события А.

Действия над событиями:

1.Сложение(объединение) событий А и В. А+В=АдугаВ=С={произошло А или произошло В}.

Св-ва операции сложения: а).А+О(перечер)=А б).А+Л=Л. в).А+А=А.Напр.,выпало{2}+(или){4}+{6}={чётн.}

2.Произведение(пересечение)событий А и В. А*В=Адуга внизВ=С={произошли АиВ одновременно}

Св-ва опреации произвед-я:

а).А*Л=А б).А*О(перечер)=О(перечер). в).А*А=А

3.Разность событий А и В. А/В=А*В с черточкой.

Законы де Моргана: (А+В)все с черт.=А с черт.*В с черт....(А*В) с черт.=А с черт.+В с черт..... А включает В.

Опр: Событие А включено в событие В, если появление А обяз-но влечет за собой настпуление события В.

2.Дискретное вероятностное пространство.

Опр-е: Элементарное событие-омега w-событие, которое нельзя разделить на более мелкие события. Л=(w1,w2,...)-множество элементарных исходов не более,чем ,конечно,счетно.F-множество всех подмножеств множества Л. F-называется алгеброй событий, А принадлежит F.,означает, что А-случайное событие. Опр: Вероятность любого случ.события=сумме вероятностей элем.исходов,составляющих это событие. Если А-случ.событие,то Р(А)=Е Р(wi). А-нечетн. Р(А)=Р({1})+P({3})+P({5})=1/6+1/6+1/6=1\2.

Св-ва вероятности: 1). 0<=P(A)<=1. 2)P(Ac-)=1-P(A). 3)P(Л)=1 4).Р(Оперечер.)=0.

Опр-е: тройка <Л,F,Р> -наз-ся дискретным вероятностное пространство. Напр.,Опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Тогда Л={1,2,3,4,5,6}, P(wi)=1/6, i=1,...,6.

3.Формулы сложения и умножения, св-ва.

Опр-е: События А и В наз-ся несовместимыми,если они не могут произойти одновременно,т.е АВ=Оперечерк. В этом случае Р(АВ)=0. Теоремы сложения: 1.Если А и В несовместны,то Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (вер-ть появл-я одного из двух несовместных событий равна сумме вероят-й этих событийй); 2.Если А и В совместны,то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (вер-ть появл-я хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятн-й этих соб-й без вер-ти их совместного появл-я) Напр.,Завод производит 3 сорта продукции. А 1.-70%. В 2.-20%. С. 3.-10% Найти вер-ть,что любое изделие,вынутое из ящика 1го или 3го сорта. Р(1 или 3)=Р(А+С)=Р(А)+Р(С)=0,7+0,1=0,8.

Теоремы умножения: Если два события АиВ независимы,то вероятность произведения этих событий равна произведению вероятностей. Р(А*В) = Р(А)*Р(В).Напр.,два стрелка стреляют по мишени независимо друг от друга.

А1 1.10 из 100. попали оба стрелка А2 2.6 из 10. ни один не попал,один попал,хотя бы один попал. Р(А1)=0,1 Р(А2)=0,6

1).Р(оба попали)=Р(А1*А2)=Р(А1)*Р(А2)=0,6*0,1=0,06

2).Р(никто не попал)=Р(А1 с черт*А2 с черт)=Р(А1 с черт)*Р(А2 с черт)=(1-Р(А1))*(1-Р(А2))=0,9*0,4=0,36

3).Р(один попал)=В(А1*А2 с черт.+А1 с черт.*А2)=Р(А1)*Р(А2 с черт)+Р(А1 с черт)*Р(А2)=0,1*0,4+0,6*0,9=0,04+0,54=0,58

4).Р(попал хотя бы один)=1-Р(никто не попал)=1-0,36=0,64. Р(1)+Р(2)=0,58+0,06=0,64

Свойства:

1.пусть события Аi - попарно несовместное,т.е Ai*Aj=Oперечеркн.,для любых iнеравноj. Тогда P(E Ai) = E P(Ai) – сво-во счетной одитивности

2.если события совместны, тогда вероятность суммы небольше,чем сумма вероятностей. P(E Ai)<= E P(Ai)

3.А включает В, то Р(А)<=Р(В)

4.(св-ва непрерывности вер-ти). Пусть задана убыва-я послед-ть событий А1>=A2>=A3>=...,соб.А-то,что получится в пересеч.событий А=дуга внизАi=limAi.

А=limAi limP(Ai)=P(limAi)=P(A)

5.Пусть зад.возрастающая посл-ть событий А1<=A2<=A3<=...

А=дугаAi A=limAi lim P(Ai)=P(limAi)=P(A)

4 и 5 - св-ва непрерывности вероятности.