- •1. Определитель квадратной матрицы и его геометрический смысл.
- •2. Вычисление определителей
- •3. Линейные свойства определителей
- •4. Определитель матрицы с линейно зависимыми строками
- •5. Матрица. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы.
- •6. Умножение матриц. Основные свойства
- •7. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •8. Ранг матрицы. Основные свойства.
- •9. Решение слу методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
- •10. Решение слу матричным методом.
- •11. Решение слу методом Крамера.
- •12. Определение векторного пространства. Линейные операции над векторами. Основные свойства.
- •13. Базис векторного пространства. Теорема о единственности разложения вектора о базису.
- •14. Скалярное произведение векторов. Основные свойства
- •15. Косинус угла между векторами. Орт и модуль вектора. Направляющие косинусы вектора.
- •16. Векторное произведение векторов: определение и геометрический смысл
- •17. Основные свойства векторного произведения
- •18. Смешанное произведение. Основные свойства и геометрический смысл
- •19. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
- •20. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •21. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.
- •22. Параметрическое уравнение плоскости
- •23. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости.
- •24. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние и отклонение точки от плоскости.
- •25. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •26. Деление отрезка в данном отношении
- •27. Уравнение прямой на плоскости
- •28. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от прямой.
- •29. Угол между прямыми на плоскости условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •30. Эллипс: каноническое уравнение и геометрические свойства
- •31. Гипербола: каноническое уравнение и геометрические свойства
- •32. Парабола: каноническое уравнение и геометрические свойства
1. Определитель квадратной матрицы и его геометрический смысл.
Определитель – каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, которое называется определителем матрицы и обозначают det(A).
1. Если А=[C], то det(A)=C
2. Если А= , то det(A)= -- разложение определителя по 1-й строке. Aik=(-1)i+k*Mik – алгебраическое дополнение элемента aik.
Mik – минор элемента aik.
Минор – определитель матрицы, который получается после вычеркивания или удаления из матрицы А i-й строки k-го столбца. i, k .
Это рекуррентное определение. Мы не сразу получаем определитель матрицы 3-го порядка, а по данной формуле приходим к вычислению 3-х определителей 2-го порядка и т.д.
Геометрический смысл определителей.
Пусть -- стандартные наги. .
Любой вектор можно линейно разложить в этом базисе.
Пусть -- произв. сист. вект. в пространстве. . Из координат этих векторов составим матрицу:
Тогда определитель этой матрицы равен ±V, где V – объем параллелепипеда, состоящего из этих векторов. det(A)= ±V.
Знак определителя определяют ориентацию векторов в пространстве. Это геометрический смысл определителя 3-го порядка в 3-х мерном пространстве.
На плоскости остается 2 базисных вектора. и (произвольные вектора). Составим матрицу:
Тогда det(A)=±S, где S – площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.
Это геометрический смысл определителя 2-го порядка на двухмерном пространстве.
Переводим в n-мерное пространство Rn. В этом пространстве стандартный базис: . , где единица стоит на k-м месте. Выбираем произвольные вектора . Составляем матрицу из этих векторов:
Теперь можно обобщить понятие объема, образованного этими векторами в этом пространстве.
V=|det(A)| -- определитель объема тела, построенного на данных векторах.
2. Вычисление определителей
Определитель – каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, которое называется определителем матрицы и обозначают det(A).
1. Если А=[C], то det(A)=C
2. Если А= , то det(A)= -- разложение определителя по 1-й строке. Aik=(-1)i+k*Mik – алгебраическое дополнение элемента aik.
Mik – минор элемента aik.
Минор – определитель матрицы, который получается после вычеркивания или удаления из матрицы А i-й строки k-го столбца. i, k .
Это рекуррентное определение. Мы не сразу получаем определитель матрицы 3-го порядка, а по данной формуле приходим к вычислению 3-х определителей 2-го порядка и т.д.
Вычисление определителя 2-го порядка:
=a11*a22-a12*a21
Это следует из Опр. 1.
=a11*A11+a12*A12=a11(-1)1+1*a22+a12(-1)1+2*a21=a11*a22-a12*a21
Выведем для определителя 3-го порядка правило треугольника.
= (a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13)-(a31*a22*a13+a23*a32*a11+a12*a21*a33). Справа в первой скобке сумма произведений элементов, которые образуют треугольник со стороной параллельной главной диагонали. Во второй скобке – сумма произведений элементов, которые образуют треугольник со стороной параллельной побочной диагонали.
Прим.:
det(12)=12
=1*6-2*5=-4
=5* -0+0=5*(8-6)=10 (разложение по 3-й строке)
=3* (разложение по 3-му столбцу)
Е сли выше главной диагонали или ниже главной диагонали все нули, то определитель равен произведению элементов на главной диагонали.