1. Определение функции. Область определения и множество значений. Способы задания функции.

Ф ункция – не пустое подмножество будем называть функцией, если выполняется условие однозначности.

для

П олагаем:

y =f(x) 

Если A=D(f), то полагаем (f:A->B), т.е. А отображается в множество В.

Способы задания функции.

1. Аналитическое задание.

2. Графическое задание.

Очевидно, условие однозначности выполняется. Не всегда по графику можно найти аналитическую формулу.

y=1-|x|

3. Табличное задание.

Русский алфавит можно рассматривать как пример табличного задания.

x: 1 2 3 4 5 6 … 33

y: а б в г д е … я

D(f)={1, 2, 3, …, 33}

E(f)={а, б, в, …, я}

2. Определение последовательности, подпоследовательности и предельной точки последовательности. Ограниченные и монотонные, сходящиеся и расходящиеся последовательности.

Отображение (Р: N->R) называется последовательностью действительных чисел.

Прим:

P(n)=1+(-1)ⁿ

P₁=1-1

P₂=1+1

(0; 2; 0; 2; …)

n! – n-факториал и n!=1*2*3*…*n

0!=1

1!=1

2!=2

3!=6

(n+1)!=(n+1)n!

Подпоследовательность числового ряда (1, 2, 3, …) определяется следующим образом.

( S: N->N)

Определение подпоследовательности для любой последовательности Р. Если S – последовательность натурального ряда, то P.S называют подпоследовательностью из последовательности Р.

Н еформальный выбор подпоследовательности из данной последовательности:

Чтобы выбрать подпоследовательность смещаемся вдоль последовательности слева направо и делаем выбор членов последовательности.

Выберем подпоследовательность, номера которой кратны 5:

3. Функция действительного переменного. Композиция функций. Понятие об элементарной функции.

Композиция функций.

Пусть А, В, С – множества(f: A-> B)(g: A -> C)

Тогда отображение h=gof называется композицией функций f и g.

h – сложная функция

h(x)=g[f(x)]

1. f(x)=3x-2 g(y)=y²

h(x)=gof(x)=(3x-2)²

2. h(x)=cos³(5x)

f₁(x)=5x f₂(x)=cosx f₃(x)=x³

h=f₃of₂of₁

Функция действительного переменного.

О пр: Отображение действительной функции действительного переменного.

Примером являются все элементарные функции, которые образуются из основных элементарных функций с помощью операции композиции.

Основные элементарные функции:

1 . Степенная

2 . Показательная

3 . Логарифмическая

4. Тригонометрическая

5 . Обратные

О пр.:

Пусть

1 . f ограничена сверху, если

2 . f ограничена снизу, если

3 . f ограниченная функция, если

4 . f монотонно возрастающая на подмножестве , если

5 . f монотонно убывающая на подмножестве ,если

6. Периодическая функция, если найдется такое T>0, что .

Т называют периодом – наименьшее положительное число Т обладающее этим свойством.

7. f – четная, если .

8. f – нечетная, если .

Область определения таких функций должна быть симметрична относительно точки х=0. Для четной функции симметрия относительно Оу.

Симметрична относительно точки х=0. Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

D(f)=

E(f)=

y=arctgx

D(f)=

E(f)=