5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , k соответственно (см. рис. 12).

 

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ.

Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁ , М₂ и Мз.Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда пр _ха=|OM ₁|, np_ya = |ОМ₂|, пр_z а=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ ₁ + M₁N + NM.

А так как M ₁N=OM ₂ , NM =ОМз, то

а=ОМ ₁ + ОМ ₂ + ОМ₃                                             (5.1)

 

Обозначим проекции вектора а=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_у и a_z, т.е. |OM ₁| = а_х,|ОМ₂| = а_у, |ОМ₃| = а_z. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

a=a_xi+a_yj+a_zk            (5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: a = (a_x ;a_y ;a_z).

Равенство b = (b_x ;b_y ; b_z ) означает, что b = b _х•i +b _у • j + b_z • k . Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

  

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны a,b,g. По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа   называются направляющими косинусами вектора а.

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора e являются числа

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.

5.5. Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы а=(a_x; a_y; a_z) и b=( b_x; b_y; b_z) заданы своими проекциями на оси координат Ox,Oy,Oz или, что то же самое

а = а_х •i + а_у • j +а_z • k,    b =b_х • i + b_у • j + b_z • k.

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1.          а ± b = (а_х ±b_х)i + (а_у ±b_y)j + ( a_z ± b_z)k, или кратко а ± b = (а_х ±b_x; a_y± b_y; a_z ± b_z). To есть при сложении (вычитании) векторових одноименные координаты складываются (вычитаются).

2.           l  а = l а_х • i + l а_у • j + l  a_z • k или короче l  а = (lа_х; lа_у; lа_z). То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: a_х= b_х; а_у=b_y; a_z= b_z  , т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов а и b, заданных своими координатами.

Так как а || b, то можно записать а = l • b, где l-некоторое число. То есть

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называются координатами точки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором точки

М, обозначается r , т. е. ОМ= r . Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

 

Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z ).

Координаты вектора Найдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек A( x₁; y₁; z₁) и В( x₂;у₂; z₂). Имеем (см. рис. 13):

        AB=OB-OA=(x₂i+y₂j+z₂k)-(x₁i+y₁j+z₁k)=(x₂ - x₁)i+(y₂ - y₁)j+(z₂ - z₁)k

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: АВ = (х₂-х₁;у₂-у₁; z₂- z₁).

6.