7. Решение слау методом Гаусса.

Нахождение множества решений системы линейных уравнений основывается на том, что от заданной системы с помощью элементарных преобразований строк переходят к равносильной системе, которая решается “проще”, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

1) перемена местами двух уравнений в системе;

2) умножение какого-либо уравнения системы на действительное число С 0;

3) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы данной системы элементарными преобразованиями строк к некоторому специальному виду - прямой ход схемы Гаусса, и нахождению затем множества решений системы с полученной расширенной матрицей, которая будет равносильна исходной. - обратный ход метода Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных, а именно: в первом уравнении должны присутствовать все n неизвестных, во втором уравнении не должно присутствовать первое неизвестное ; в третьем и и т.д., причем коэффициенты при неизвестных, с которых начинается каждое из уравнений, должны быть равны 1.

Любая матрица с помощью элементарных преобразований только строк может быть приведена к некоторому “ступенчатому” виду, а именно:

Здесь под “ступеньками”, которые начинаются в левом верхнем углу с элементов главной диагонали, все элементы равны нулю, над “ступеньками” могут быть любые числа, диагонали “ступенек” должны состоять только из 1, горизонтали “ступенек” могут образовываться любыми числами. Если матрицу исходной системы ( в расширенной матрице это соответствует элементам до вертикальной черты) удается привести к “треугольному” виду, а именно:

то система будет иметь единственное решение.

Если матрица совместной системы проводится к трапециевидному или ступенчатому виду, значит, система будет неопределенной, т.е. будет иметь бесчисленное множество решений.

Система не будет иметь решений, если в преобразованной матрице в последней ненулевой строке перед вертикальной чертой будут стоять все 0, что будет соответствовать уравнению 0=1, не имеющему решений.

8.Совместность слау. Т Кронекера-Капелли

Исследование систем линейных уравнений.

Матрица системы (1), дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы (1):

Ранг матрицы А* либо равен рангу матрицы А либо на единицу больше.

Характер множества решений системы (1) зависит только от ранга матрицы А и от ранга расширенной матрицы А*.

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы А* равен рангу матрицы А.

Совместная система (1) тогда и только тогда обладает единственным решением, если ранг матрицы А равен числу неизвестных;

если rang А< n - система будет неопределенной.