- •Вопросы к экзамену по математическому анализу.
- •1.Определение определенного интеграла.
- •2.Необходимое условие существования определенного интеграла
- •3. Нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу и их свойства.
- •4. Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла.
- •5. Некоторые классы функций для которых существует определенный интеграл
- •6. Некоторые свойства определённого интеграла
- •7.Определение интеграла с переменным верхним пределом.
- •8.Опредидение интеграла с переменным верхним пределом.
- •9. Формула Ньютона-Лейбница.
- •10. Замена переменной в определённом интеграле
- •11. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •12. Понятие квадрируемой фигуры и её площади.
- •13. Свойства квадрируемых фигур.
- •14. Понятие спрямляемой плоской кривой и её длины. Достаточное условие спрямляемости плоской кривой(сформулировать теорему).
- •15. Вычисление объёма тела вращения(с рисунком).
- •16.Вычисление площади поверхности вращения.
- •17. Определение несобственного интеграла первого рода и его свойства.
- •18. Определение несобственного интеграла второго рода и его свойства.
- •19. Понятие n-мерного Евклидова пространства.
- •20. Множества в пространстве .
- •21. Понятие действительной функции нескольких действительных переменных.
- •22. Действительная функция двух действительных переменных.
- •23. Предел функции двух действительных переменных . Повторные пределы.
- •24. Непрерывность функции двух действительных переменных.
- •25. Определение частной производной функции двух переменных. Механический смысл.
- •26. Определение дифференцируемой функции двух действительных переменных и полного дифференциала. Необходимое условие дифференцируемости функции двух действительных переменных.
- •27. Достаточное условие дифференцируемости двух действительных переменных.
- •28.Дифференцирование сложной функции.
- •29. Частные производные высших порядков.
- •30. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
- •31. Дифференциалы высших порядков для функции двух переменных.
- •32. Определение производной по направлению. Теорема.
- •33. Градиент функции. И его свойства.
23. Предел функции двух действительных переменных . Повторные пределы.
Пусть определена на множестве R плоскости и точка ( - предельная точка множества Д.
Определение: Число А называется пределом функции в точке ( , если для любого такое что если будут выполнятся неравенства то при таких будет выполнятся неравенство:
Обозначение:
Наряду с рассмотрением предела функции двух переменных, для функции двух переменных рассматривают повторные пределы. Пусть при каждом фиксированном x существует Этот предел будет являться функцией переменной Х. То есть существует Этот предел называется повторным пределом для функции в точке
Аналогично вводится повторный предел
24. Непрерывность функции двух действительных переменных.
Теорема: Пусть
1. Существует и существует то существует повторный предел
2. Существует существует то существует повторный предел
Пусть функция определена в области Д и точка ( Д.
Определение: Функция называется непрерывной в точке ( если
Определение: Функция называется непрерывной в точке ( если такое что если выполняется то выполняется неравенство: .
Пусть точка тогда разности называют приращениями независимых переменных ( при переходе от точки ( к точке . Отсюда , , разность называется полным приращением функции при переходе от точки ( к точке .Тогда определение непрерывности функции в точке будет таким:
;
Определение: Функция называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в каждой точке принадлежащей области Д.
25. Определение частной производной функции двух переменных. Механический смысл.
Пусть функция определена в области Д плоскости и пусть . Координате х дадим приращение , а координату у оставим без изменения, получим точку . Запишем тогда приращение функции -его называют частным приращением функции при переходе от точки
Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называют частной производной функции в точке по переменной х.
Обозначение: ;
Если хотят указать конкретную точку то пишут Итак по определению
Аналогично определяется частная производная функции по переменной y, а именно
Механический смысл частных производных и это скорость изменения значений функции в точке вдоль осей и соответственно, в положительном направлении.
Чтобы вычислить частную производную функции по одной из переменных нужно на данный момент остальные переменные считать постоянными и находить производную функции от одной переменной.
26. Определение дифференцируемой функции двух действительных переменных и полного дифференциала. Необходимое условие дифференцируемости функции двух действительных переменных.
Пусть функция определена в области Д плоскости и пусть . Переменным х и у дадим приращение и . И запишем полное приращение функции
Определение: функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение представимо в виде:
-(1)
Где А и В не зависят от и а ,
-(1) называют условием дифференцируемости функции в точке .
Пусть для функции выполняется условие дифференцируемости (1) , тогда выражение называется полным дифференциалом функции в точке
Обозначение: .
Теорема: Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности в виде ; Так как по условию функция дифференцируема в точке то выполняется условие (1), получим : следовательно по определению функция непрерывна в точке (
Доказано.
Теорема: Если функция дифференцируема в точке то она имеет в этой точке частные производные.