- •Вопросы к экзамену по математическому анализу.
- •1.Определение определенного интеграла.
- •2.Необходимое условие существования определенного интеграла
- •3. Нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу и их свойства.
- •4. Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла.
- •5. Некоторые классы функций для которых существует определенный интеграл
- •6. Некоторые свойства определённого интеграла
- •7.Определение интеграла с переменным верхним пределом.
- •8.Опредидение интеграла с переменным верхним пределом.
- •9. Формула Ньютона-Лейбница.
- •10. Замена переменной в определённом интеграле
- •11. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •12. Понятие квадрируемой фигуры и её площади.
- •13. Свойства квадрируемых фигур.
- •14. Понятие спрямляемой плоской кривой и её длины. Достаточное условие спрямляемости плоской кривой(сформулировать теорему).
- •15. Вычисление объёма тела вращения(с рисунком).
- •16.Вычисление площади поверхности вращения.
- •17. Определение несобственного интеграла первого рода и его свойства.
- •18. Определение несобственного интеграла второго рода и его свойства.
- •19. Понятие n-мерного Евклидова пространства.
- •20. Множества в пространстве .
- •21. Понятие действительной функции нескольких действительных переменных.
- •22. Действительная функция двух действительных переменных.
- •23. Предел функции двух действительных переменных . Повторные пределы.
- •24. Непрерывность функции двух действительных переменных.
- •25. Определение частной производной функции двух переменных. Механический смысл.
- •26. Определение дифференцируемой функции двух действительных переменных и полного дифференциала. Необходимое условие дифференцируемости функции двух действительных переменных.
- •27. Достаточное условие дифференцируемости двух действительных переменных.
- •28.Дифференцирование сложной функции.
- •29. Частные производные высших порядков.
- •30. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
- •31. Дифференциалы высших порядков для функции двух переменных.
- •32. Определение производной по направлению. Теорема.
- •33. Градиент функции. И его свойства.
6. Некоторые свойства определённого интеграла
1)
2) =0.
3) = .
4) =k .
5) = ± .
6) если , тогда
7) если на отрезке ,то
.
8) если существует , то существует и при этом
.
9) пусть , тогда
10) справедливо равенство
11) теорема о среднем значении функции
пусть , тогда найдется число , m≤µ≤M, что будет выполнятся равенство
7.Определение интеграла с переменным верхним пределом.
Теорема о непрерывности
Пусть существует , тогда он будет существовать согласно свойства 10 на любом отрезке где , получим интеграл
,
если x изменяется от а до b, то значение этого интеграла будет меняться, получим функцию
, где ,
функцию называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема о непрерывности функции:
если функция f(x) интегрируема на отрезке , то функция непрерывна на отрезке .
Доказательство.
Воспользуемся определением непрерывности функции в виде:
Пусть х- любая точка отрезка [a,b]. Точке х дадим приращение получим точку х+ . Запишем приращение функции
Тогда по определениюФ(х) непрерывна в точке х. Так как х произвольная точка отрезка [a,b] то Ф(х) непрерывна на отрезке [a,b].
Доказано.
8.Опредидение интеграла с переменным верхним пределом.
Теорема о дифференцируемости
Пусть существует , тогда он будет существовать согласно свойства 10 на любом отрезке где , получим интеграл
,
если x изменяется от а до b, то значение этого интеграла будет меняться, получим функцию
, где ,
функцию называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема о дифференцируемости:
если функция непрерывна на отрезке , то функция дифференцируема на отрезке и при этом .
Доказательство.
Так как непрерывна на отрезке [a,b], то . По определению производной Ф’(x)= так как то при окончательно получим Ф’(x)=f(x),
Доказано.
Ф’(x)=f(x) означает что Ф(x) является первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b] поэтому эту теорему называют ещё и теоремой существования первообразной для непрерывной функции.
9. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция непрерывна на отрезке , тогда согласно предыдущей теоремы (о дифференцируемости функции ) для неё существует первообразная функции на отрезке , а именно
Пусть – какая-нибудь другая первообразная для функции Первообразные и отличаются друг от друга на постоянную С,
, или
Найдём значение С.
Пусть x=a, получим так как Тогда
Пусть x=b, получим Формула Ньютона-Лейбница.
Обозначим ab
В окончательном виде получим формулу Ньютона-Лейбница –
ab
Чтобы вычислить определённый интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница нужно каким-то образом найти какую-нибудь первообразную функции f(x), а затем найти разность