32. Определение производной по направлению. Теорема.

Пусть функция определена в некоторой плоскости Д и в точке функция имеет частные производные .

Механический смысл этих частных производных есть скорость изменения значения функции в точке в направлении осей соответственно, имеется в виду положительное направление.

Но из точки на плоскости можно выйти в бесконечном множестве направлений и поэтому можно говорить о скорости изменения функции в любом из направлений.

В связи с этим вводится понятие производной функции по направлению.

Из точки проведём луч в направлении ( . На луче ( произвольно выберем точку . Запишем разность эту разность называют приращением функции при переходе от точки к точке М в направлении ( Обозначим через отрезка [

И запишем отношение - это есть средняя скорость изменения значения функции при переходе от точки к точке М в направлении ( .

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называют производной функции в точке в направлении ( .

Обозначение: ; ;

По определению: = ;

Теорема: Пусть функция дифференцируема в точке ,тогда эта функция в точке имеет производную в любом направлении и она находится по формуле:

33. Градиент функции. И его свойства.

Пусть функция дифференцируема в точке тогда согласно теоремы (Пусть функция дифференцируема в точке ,тогда эта функция в точке имеет производную в любом направлении и она находится по формуле:

) эта функция имеет в точке

Производную в любом направлении.

Введём в рассмотрение вектор проекции на оси соответственно этот вектор называется градиентом функции в точке .

Обозначение: ;

По определению: ;

Свойства градиента.

1. -постоянная;

2. ; ;

3. ;

4. ;

5. ;

Длина градиента вычисляется по формуле: