Вопрос 9.

Свойства:

Матрица А порядка n. Транспонированная к ней .

Получена путем преобразования, при котором строки стали столбцами с теми же номерами. Транспонирование – поворот матрицы около главной диагонали.

Определитель транспонируемой матрицы получается транспонированием определителя исходной матрицы.

1.Определители транспонированных матриц равны между собой.

Доказательство: выпишем общий член матрицы А

Индексы элементов этого произведения составляют подстановку

Все элементы произведения1 являются элементами транспонированной матрицы и также расположены в разных столбцах, т.е. произв.1 является членом транспонированного определителя. Таким образом, определитель

матрицы А и опред.транспонир матрицысостоит из одних и тех же членов. Знак произв.1 в опред.матрицы А определяется четностью подстановки2, в опред. транспонир.матрицы первые индексы указывают на номер

столбца, вторые на номер строки =>

Подстановки 2 и 3 в общем случае различны, но имеют одинаковую четность => произ.1 в обоих опред.имеет один и тот же знак. Таким образом, опред.транспонир.матриц являются суммами одинаковых членов с

одинаковыми знаками. Чтд

Из данной теоремы следует, что в любом опред.строки и столбцы равноправны => дальнейшие свойства будем формировать только по отношению к строкам, совершенно аналогично свойства имеют место для столбцом.

2.Если одна из строк опред.состояит из нулей, то опред.равен нулю.

Доказательство: detА пусть iтая строка опред.состоит из 0. Тогда выпишем общий член определителя

• В каждый член опред.нашей матрицы входит iтый член = 0 => каждый = 0 и опред. = 0 чтд

3.Если один опред.получен из другого перестановкой 2х строк, то все члены первого опред.являются членами второго, но с обратными знаками.

2а элемента данного произведения в опред.b остаются в разных строчках и разных столбцах => опред.а и b определяются четностью подстановки а’

Знак этого же члена в опред.b определяется подстановкой b’

Подстановка b1 получается из подстановки а’ путем первой транспозиции в верхней строке, при этом это происходит и во второй строке. При этом четность этих подстановок будет различна, т.к. совершена транспозиция в верхней строке. Таким образом, все члены опред.а входят в опред.b с противоположным знаком.

4.Определитель, содержащий 2 одинаковые строки равен нулю.

Но т.к. при перестановке менялись одинаковые строки, опред.не отличается ничем => d = -d => возможно только при d = 0 чтд

5.Если все элементы строки опред.умножить на число k , определитель увеличится в k раз.

Доказательство: k

Каждый член опред.b содержит ровно 1 элемент из iтой строки => всякий член приобретает множитель исходной матрицы.

*замечание: данное свойство можно сформулировать иначе, а значит общий множитель всех элементов строки можно вынести за знак опред.

6. Определитель, содержащий 2е пропорциональные строки равен нулю.

Доказательство: i и j строки пропорциональны

7.Если все элементы i строк опред.представлены в виде суммы 2х слагаемых, то опред.равен сумме 2х опред.

*замечание: Данное свойство распространяется, когда эл.i строки есть сумма более 2х слагаемых.

8. Если одна из строк опред.есть линейная комбинация других строк, то опред. равен 0

9.Опред.не меняется, е сли к элементам одной из строк прибавляются соответственные эл.другой строки(умножение на одно и тоже число)

*замечание: данное свойство можно распространять на случай прибавления любой линейной комбинации других строк.