- •3. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •4. Обратная матрица. Процедура ее нахождения. Аннулирование матриц.
- •5. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •6. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •7. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •8. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •13. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •19. Эллипс.
- •20. Гипербола.
- •21. Парабола.
- •22. Эллипсоид.
- •22. Гиперболоид и конус.
- •24. Параболоид.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •27. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •28. Предел последовательности.
- •29. Теоремы о пределах последовательности.
- •30. Предел функции.
- •31. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •32. Односторонние пределы.
- •33. Сравнение бесконечно малых.
- •34. Теоремы о пределах.
- •35. Первый замечательный предел.
- •36. Второй замечательный предел.
- •37. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •38. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •39. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •40. Дифференциал. Дифференцируемость.
- •Свойства дифференциала.
- •41. Производная и дифференциал сложной функции.
- •42.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •43. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •50.Асимтоты. Общая схема исследования функции
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
Вектор – направленный отрезок, т.е. раз есть слово отрезок, значит есть начало и конец.
1. перенос отрезка при помощи параллельного переноса, не изменяет вектор.
2. вектор задается «длиной вектора» и направления.
3. если у вектора изменить направление на противоположное, то получаем противоположный вектор.
4. нулевой вектор – вектор, длина которого = 0 или начальная конечная точки совпадают. ( у нулевого вектора направление неопределенно).
Коллинеарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же прямой.
Примечание: если из двух коллинеарных векторов направление одинаковое, то вектора сонаправленные, а если противоположные, то называется противоположно-направленные.
Компланарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же плоскости.
Примечание: два вектора в пространстве всегда компланарны.
Примечание: два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.
Линейные операции над векторами:
1. Умножение вектора на число:
Результатом будет вектор, коллинеарный исходному (соноправленный в случае положительного множителя и противоположно-направленный – в случае отрицательного множителя), длина которого равна произведению модуля числового множителя на длину исходного модуля.
2. Сумма двух векторов:
Есть вектор, получаемый из слагаемых при помощи правила параллелограмма или правила треугольника.
Базис пространства -совокупность длин независ векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пр-ва.
Базис 3x мерного пр-ва образует любая тройка некомпланарных векторов пр-ва.
Если образуют базис в пространстве, то любой вектор из этого пространства может быть представлен:
Примечание: для конкретно-заданного базиса не всегда просто бывает найти коэффициент .
Проще всего это сделать когда базис является ортонормированным.
Понятие ортонормированности распадается на понятия ортогональности и нормированности.
( перпендикулярность и длина=1).
В 3-х мерном пространстве ортогональный базис состоит из 3 взаимноперпендикулярных векторов.
Ортонормированный базис состоит из 3-х взаимноперпендикулярных векторов, длина каждого из которых = 1.
11. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними.
Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось.
Свойства:
1. a*b=b*a
2. (C*a)*b=C*(a*b)
3. a(b+c)=a*c+b*c;
4.
5. (a, b) = 0 =>
6. ij = jk = kj = 0.
Теорема 1: в пространстве R3 в ортонормированном базисе :
Следствие из Т1:
Для вектора :
Механический смысл скалярного произведения:
Пусть - сила, которая перемещает тело в направлении вектора S ( на длину ) =>
12. векторное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.
Векторное произведение вектора a на b - это c, который:
1)с перпендикулярно a и b;
2)имеет длину, численно равную площади параллельного, параллелограмма на векторах |c|=|a|*|b|*sinσ; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.
Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:
1. i*j=k;
2. j*k=i;
3. k*i=j;
Свойства:
1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. ( )
2)два ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.
Пункты: 1)условие коллиниарности: a//b => a*b=0;
2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар= sin . Sтр=0,5*
3)определение момента силы. |M|=|F|*|S|.
Теорема:
,