- •3. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •4. Обратная матрица. Процедура ее нахождения. Аннулирование матриц.
- •5. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •6. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •7. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •8. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •13. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •19. Эллипс.
- •20. Гипербола.
- •21. Парабола.
- •22. Эллипсоид.
- •22. Гиперболоид и конус.
- •24. Параболоид.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •27. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •28. Предел последовательности.
- •29. Теоремы о пределах последовательности.
- •30. Предел функции.
- •31. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •32. Односторонние пределы.
- •33. Сравнение бесконечно малых.
- •34. Теоремы о пределах.
- •35. Первый замечательный предел.
- •36. Второй замечательный предел.
- •37. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •38. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •39. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •40. Дифференциал. Дифференцируемость.
- •Свойства дифференциала.
- •41. Производная и дифференциал сложной функции.
- •42.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •43. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •50.Асимтоты. Общая схема исследования функции
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
38. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
Теорема: f(x) и g(x) непрерывны в т.х0, то:
- непрерывны в точке х0.
Доказательство: : =f(x0).
: =g(x0).
.
Следствие 1: любой многочлен является непрерывной функцией любой точки действительной оси.
Следствие 2: любая рациональная функция: такая, что (это значит, что любая рациональная функция может иметь не более чем конечное число т.р.2).
Теорема:( о существовании обратной функции):
если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a,b] оси Ох, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c,d] оси Оу.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
Теорема (Вейерштрасса): если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Непрерывность функции в интервале и на отрезке:
Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a,b),если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева ( ).
Равномерная непрерывность:
Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если
.
39. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
у
f(x)
f(x0 +x) P
f
f(x0) M
x 0 x0 x x0 + x
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
,
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой:
Уравнение нормали к кривой: .
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.