№1

Техническая механика состоит из 3 дисциплин:

1)Теоретическая механика – наука о механическом движении и равновесии физических тел

Раздел статика – изучает равновесие тел

2)Сопротивление материалов

3)Статика сооружений (Строительная механика)

Механика – это наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел

№2

Абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя точками которого, всегда остается постоянным.

Сила – мера механического взаимодействия тел. Величина векторная определяется величиной, направлением и точкой приложения.

Система сил – несколько сил, действующих на тело

Равнодействующая – сила, заменяющая действие системы сил

Уравновешивающая – сила, равная равнодействующей, обратно направ. и лежит на одной прямой.

Все силы подразделяются на внешние и внутренние:

Внешние – действующая со стороны других тел

Внутренние – взаимодействие между частицами внутри

Аксиомы статики:

А1 Под действие уравновешенной системы сил, твердое тело и материальная точка находятся в равновесии, или движется равномерно и прямолинейно.

А2 Две силы равные по величене и направлению по одной прямой – уравновешиваются.Тело находится в равновесии

А3 Ненарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешенную систему сил.

А4 Правило параллелограмма сил. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точки приложена в той же точке явл диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах

А5 Всякому действию соответсвует противодействие

Следствие из А2 и А3

Сила – вектор скользящий, т.е. можно переносить по линии действия в любую точку, не меняя величину и направление.

№3

Связь – тела, ограничивающие движение несвободных тел.

Реакция связи - силы, с которыми связи действуют на тела.

Существует несколько разновидностей связей и правила определения направления их реакций:

1)Идеально гладкая опорная поверхность

Тело опирается на плоскость связи своим

ребром в точке А, R – реакция связи.

2)Гибкая связь – нерастяжимые нити, тросы, цепи и прочее, которые ограничивают движения тела или удерживают его в равновесии.

Нити выполняют роль связи только

в том случае, когда они натянуты.

3)Стержневая связь Твердые стержни с шарнирными креплениями на концах. Стержни могут воспринимать со стороны тела растягивающие и сжимающие усилия. Реакции стержней направлены вдоль самих стержней, но при растяжении стержня – от тела к связи, а при его сжатии – от стержня к телу.

4)Шарнирно – неподвижная опора

давая возможность телу свободно поворачиваться около оси шарнира препятствует любому поступательному движению тела в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Схематически шарнирно – неподвижная опора изображается двумя стержнями, шарнирно соединенными на одном конце.

5)Шарнирно – подвижная опора отличается тем, что нижняя часть ее поставлена на катки. Схематически опора изображается в виде одного стержня с шарнирами на концах и перпендикулярного плоскости качения катков.

Простая балка

Одноконсольная балка

Двухконсольная балка

Консольная балка

№4

Сходящимися называются силы, линии действия которых перемешаются в одной точке

Равнодействующую пучка сил,

можно определить двумя способами:

Графически и аналитически.

Графический способ, по правилу силового многоугольника и с конца первой силы, откладываем по направлению и величине 2-ую силу, из конца 2-ой откладываем 3-ию и т.д. Вектор, соединяющий начало 1-ой силы и конец последний, т.е. замыкающий силовой многоугольник, и направленный на встречу составляющим силам определяет по величине и направлению равнодействующую данных сил. Величина и направление равнодействующей не зависит от порядка сложения сил

R = F1+F2+F3+F4

Если в силовом многоугольнике конец последней силы совпадает с началом первой силы, то силовой многоугольник называется замкнутым.

Равнодействующая = 0

Сумма всех сил = 0

R=0

Геометрическое условие равновесия

№5

Проекция вектора на ось = модулю этого вектора умноженного на cos угла между векторам и положительным направлением оси проекции.

Проекция вектора на ось считается положительной, если её направление совпадает с положительным направлением оси.

Если вектор силы параллелен оси, то сила проектируется в истинную величину.

Если вектор силы перпендикулярен оси, то проекция равна нулю.

№6

Аналитический способ определения равнодействующей

1)выделяют объект равновесия

(тело или точку), где пересекаются

линии действия всех сил

2)к выделенному объекту равновесия

прикладывают заданные силы

3)выделенную точку или тело

освобождают от связей, их действие

заменяют реакциями

4)выбирают координатные оси

и составляют уравнения равновесия

5)проверяют правильность решения

Равнодействующая

определяется так

Если система находится в равновесии, то R=0

Уравнение равновесия

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если сумма проекций всех сил на 2 взаимноперпендикулярно оси равняется = 0

№7

Методика решения задач на равновесие системы сил:

Аналитический способ

1)Рассматриваем точку, в которую сходятся все стержни и силы

2)Выполняем схематичный чертеж, наносим заданные силы

3)Освобождаемся от связи, и заменяем их реакциями, направляя от точки

4)Выбираем систему координат, таким образом, чтоб начало совпадало с точкой, где сходятся все силы, а одна из неизвестных совпадала из одной из осей

5)Составляем уравнение равновесия и решаем их.

№8

Пара сил – совокупность двух сил равных по величине параллельных между собой, направлены в разные стороны и нележащих на одной прямой.

- значит действует пара сил

Равнодействующая пары сил = 0

Пара сил – неуравновешенная система сил

Под действием пары сил тело получает вращательные движения. Вращение характеризуется – моментом.

Моментом пары сил назв. взятая со знаком плюс или минус произведение модуля одной из сил на плечо

а(плечо) – кратчайшее расстояние между линиями действия пары сил

Кратчайшее расстояние является перпендикулярным

На плоскости пара сил определяется величиной момента и направлением пары

№9

Две пары считаются эквивалентными, если они оказывают одинаковое действие на тело.

Сложение пар

М1 = -10*5=-50кН*м (против час. стрелки «-»)

М2 = 6*10=60кН*м (по часовой «+»)

М3 = -5*4=-20кН*м ( против часовой «-»)

М = -50+60-20=-10кН*м (М1+М2+М3)

Момент равнодействующей = сумме моментов составляющих пар

Для равновесия пар на плоскости необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов пар = 0

Для двух сил М1+М2=0

М1= -М2

№10

Момент силы относительно токи – назыв взятая со знаком + или – на плечо

М0(F) = Fа (Н*м)

Если сила проходит через точку, то а=0 следовательно М0(F)=0

№11

Уравнение равновесия произвольной плоскости системы сил

Основной вид:

Если система находится в равновесии, то Rгл=0 и Мгл=0

Второй вид:

Сумма

Третий

№12

Уравнения для параллельных сил

1.

2.

№13

Шарнирно-неподвижная опора

Vа - препятствует

вертикальному перемещению

На - препятствует

горизонтальному перемещению

Шарнирно-подвижная опора

Vв – препятствует только

вертикальному перемещению

Жесткая заделка, защемление (консольная балка)

Vа - препятствует

вертикальному перемещению

На - препятствует

горизонтальному перемещению

Ма – препятствует вращению

вокруг оси

№14

F – Сосредоточенная нагрузка

М – Сосредоточенный момент

Распределенная нагрузка может быть по длине ( Н/м), по площади (Н/м в 2), по объему (Н/м в 3)

Интенсивность обозначается буквой g

g= F/l (H/м)

F = g*l

№15

Система сходящихся сил

Линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке

Для равновесия свободного твердого тела под действием пространств.системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сума проекций всех сил на каждую из координат осей была = 0

№16

Момент силы относительно оси характеризуется вращательным эффектом создаваемым силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси

Свойства момента силы относительно оси

1)Момент силы относит оси не зависит от выбора т.О на оси z, через которую преводится плоскость Оxy

2)Не зависит от положения силы на ее линии действия, т.к. при изменении точки приложения силы ее граница и плечо проекции остаются постоянными

3)равен нулю тогда, когда линия действия силы и ось лежат в одной плоскости . При этом возможны 2 случая :

а) сила параллельна оси , тогда М2(F) = +-Fhcos=0, так как cos=0

б) линия действии силы пересекает ось, тогда М2(F)= +-Fhcos=0, так как h=0

Момент силы Н*м

№17

Для равновесия свободного твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы гл.вектор и гл.момент этой системы относит.любой точки были равны 0:

Условия равновесия могут быть также записаны через проекции на оси координат:

№18

Центр тяжести тела

Равнодействующую сил тяжести

Действующих на частицы данного тела, обозначим G.Численно этасиларавна весу тела, т.е. силе , с которой тело, находящиеся под действием силы тяжести, давит на опору

тС – центр параллельных сил , и назыв. центром тяжести тела.

Координаты центра тяжести определяется:

Вес каждой части тела:

Vi – объем каждой части

Y – вес единицы объема

Точка С с координатами найденными по этим формулам , назыв. – центром тяжести объема

Формулы координат центра тяжести пластины:

Точка С с координатами , найденными по этим формулам назыв. – центром тяжести площади

№19

Центр тяжести площадей определяется по формулам:

Центр тяжести можно определить с помощью статического момента площади

S – статический момент площади

- произведения площади элемента фигуры на кратчайшее расстояние от её центра тяжести до оси лежащей в этой же плоскости

№20

Положение центра тяжести простейших фигур

Если фигура имеет ось симметрии, то ЦТ находится на оси

При определении ЦТ сложных фигур, разбиваем их на более простые, ЦТ которых мы можем определить

А если фигура имеет отверстие, то это нематериальное тело, то площадь пишется с минусом (вычитывается)

Статический момент всей площади фигуры относительно любой оси, проходящей через ЦТ этой фигуры, равен = 0

№21

В строит. практике широко применяются стальные прокатные профили по ГОСТ. В таблицах, который называются сортамент прокатной стали, для каждого профиля даются все необходимые размеры, площадь сечения (Ai), координаты ЦТ.

Пользуясь этими данными можно определить положение ЦТ составного сечения.

Уголок равнополочный

Zо – расстояние от ЦТ до полки

Уголок не равнополочный

Хо, Уо – расстояние от ЦТ до

наружных граней полок

Двутавр , если №14 это значит

что высота 14 см=140 мм

Швеллер, если №5 то

высота 5 см=50 мм

№22

№23

Равновесие тела, имеющего опорную плоскость

Момент силы тяжести относительно оси поворота будет возвращать тело в положение равновесия до тех пор , пока вертикаль , проведенная из ЦТ, пересечет площадь опоры.

Углы а1 и а2 называются углами устойчивости

В данном случае а2>а1, т.к ЦТ второго тела расположен ниже, чем у первого.

Т.к. момент равнодействующей равен сумме моментов сил составляющих , то следовательно , для равновесия необходимо, чтобы имело место неравенство:

Где а и в – плечи сил G и F относительно точки Е, откуда Ga=Fв

Произведение Ga – момент устойчивости, а произведение Fв – опрокидывающий момент

Для сохранения статической устойчивости тела необходимо, чтобы момент устойчивости был больше опрокидывающего момента или в крайнем случае равен ему.

Ga/Fв = K – коэффициент устойчивости – отношение момента устойчивости к опрокидывающему моменту.

№24

Сопротивление материалов – это наука, которая изложена основы учения о прочности, жесткости и устойчивости деталей и элементов инженерных сооружений

Прочность - неразрушимость от действия нагрузок

Устойчивость – способность конструкции сохранять первоначальную форму, которую предали при изготовлении

Элемент конструкции считается жестким, если действующие на него силы весьма мало изменяют его формы и размеры

Деформация бывает: а)пластичная или остаточная

б)упругая

в)ползучесть – увеличение деформации со временем (вытяжка каната)

№25

Основные гипотезы и допущения вводятся для того, чтобы несколько упростить изучения явлений, происходящих при деформации конструкций

1)Материал, из которого изготавливают элементы конструкций, считают однофазным и изотропным, т.е. свойства любых частиц тела одинаково

2)Материал в известных пределах погружения обладает упругостью

3)Материал полностью заполняет объем тела

4)Результат воздействия на конструкцию группы сил = сумме результатов от действия каждый силы в отдельности

5)Допущения о малости перемещений по сравнению с геометрическими размерами конструкции

№26

Метод сечений применяется для определения внутренних сил при деформациях

1) Разрезаем брус мысленно плоскостью, одну часть отбрасываем и рассматриваем равновесие оставшейся части

2) Внутренние силы в исследуемом сечении рассматриваем, как внешние и приводим их к ЦТ. Получим главный вектор и главный момент

3) Разложим главный вектор и главный момент по осям координат

Qx и Qy – поперечные силы

Nz – продольная сила

Mx и My – изгибающие моменты

Mz=T – крутящий момент

Определяются внутренние силовые факторы с помощью системы уравнений:

№27

Напряжение вводится для оценки прочности бруса

Внутренняя сила, действующая на единицу площади сечения, назыв. – напряжение

Если силы равномерно распределены по площади, то истинное напряжение определяется по формуле:

Напряжение величина векторная, её можно разложить на две составляющие по нормали и по касательной

Сигма - нормальное напряжение

Тау - касательное напряжение истинное напряжение определяется по Пифагору

Сигма - интенсивность продольных сил

Тау - интенсивность поперечных сил

Истинное напряжение:

№28

Вид деформации – растяжение и сжатие

Такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении возникают только продольные силы N (N не= 0), все остальные внутренние силовые факторы будут равняться 0.

Для определения N (продольной силы) применяем метод сечений.

Продольная сила = алгебраической сумме, проекций на ось брусов внешних сил действующих по одну сторону сечения.

Галандский ученый Вернули высказал гипотезу, что при растяжении и сжатии поперечное сечение стержня смешаются параллельно начальным положения, оставаясь плоскими, т.е. нормальное напряжение во всех точках сечения должны быть постоянно

№29

- абсолютное удлинение, метр.

Мерой деформации явл.относительная деформация(линейная) – это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине:

(Безразмерная величина, %)

При растяжении и сжатии есть и поперечная деформация, т.е. ширина бруса уменьшается или увеличивается

- абсолютная поперечная деформация

- относительная поперечная деформация

Частное от деления относительно поперечную деформации на относительно продольную, взятую по абсолютной величине, назыв. – коэффициент Пуассона.

Он показывает, какую часть поперечной деформации составляет от продольной. Берется в таблице справочников, в зависимости от материала колеблется в пределах

Е – модуль Юнга – модуль продольной упругости

(Е*А) – жесткость сечения

Разделим выражение закона Гука на l

Математическое выражение закона Гука.

Нормальное напряжение прямо пропорционально продольной деформации.

Закон Гука можно выразить графически:

№30

Все материала подразделяются на пластичные и хрупкие.

Хрупкие (чугун, кирпич, бетон)

Пластичные (сталь, пластмасса)

Механические характеристики, которые нужны при расчете на прочность получают экспериментальным путем. Это стандартное оборудование, которое снабжено записывающим устройством. Образец закрепляется в зажимах растяжной машины и растягивается до разрыва

Механические характеристики:

1)Характеристика прочности

Предел пропорциональности

2)Предел упругости

3)Предел текучести

4)Предел прочности

Характеристики пластичности материала:

1)

2) max сужение – «пси» -

Чем длиннее диаграмма, тем пластичней материал.

При сжатии пластичные материалы ведут себя так же, как и при растяжении.

При испытании хрупких материалов разрушения происходит внезапно, отсутствует площади текучести.

Пластично хрупкие, где тоже отсутствует площадка текучести, они слишком деформируются

№31

Предельное напряжение – напряжение, при котором в материале возникает опасное состояние

Для пластичных материалов

Для хрупких материалов

Допускаемое напряжение – максимально напряжение, при котором материал должен нормально работать

Обозначается:

S – допускаемый коэффициент запаса прочности, в таблице.

1. Расчет по допускаемым напряжением

Расчет по методу допускаемых напряжений используется только в машиностроении. Условия прочности расчета выглядит так:

Три типа задач: проверка прочности

Подбор сечения (А)

Определение несущей способности

2) Метод предельных состояний

в метод введено несколько коэффициентов (на нагрузки, на прочностные характеристики материала и на условие эксплуатации сооружений), что позволяет проектировать надежные сооружения.

Предельные состояния на 2 группы:

По несущей способности, т.е. непригодности к эксплуатации (вследствие разрушения)

По непригодности к нормальной эксплуатации (трещины, осадок фундамента, прогиба)

Расчет должен гарантировать, что ни одну из предельных состояний во время эксплуатации сооружения не наступит.

Для обеспечения надежности конструкции введено расчетное сопротивление «R», которое берется в СНиП в зависимости от материала.

Условие прочности:

Три типа задач:

Проверка на прочность

Побор сечения

Определение несущей способности

№ 32

№33

Геометрической характеристикой сечения при растяжении, сжатии, смятии, сдвиге является площадь А, при кручении, изгибе появляются другие характеристики геометрич. и нужны они для расчета на прочность и жесткость

Ix и Iy – осевые моменты инерции

Iр – полярный момент инерции

Ixy – центробежный момент инерции

Рассмотри произвольные сечения, выделим элементарную площадку и покажем расстояние до осей.

Осевой момент инерции равен сумме произведения элементарных площадок на квадрат расстояния до оси.

Полярный момент равен сумме произведения элементарных площадок на квадрат расстояния р до полюса.

Зависимость между Ix и Iy и Iр выгляди так:

Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов.

Центробежный момент инерции = сумме элементарных произведения площадок на произведение расстояний до двух взаимноперпендикулярных осей:

Моменты инерции простейших сечений:

Прямоугольник

Квадрат

Круг

Кольцо

№34

При параллельном переносе

осей Xо и Уо в новое положение Х, У.

Значение моменом инерции

IX, Iy и Ixy заданного сечения меняются.

Формулы перехода ( если оси не проходят через ЦТ)

в – расстояние между осями У и Уо

а – расстояние между осями Х и Хо

Главные оси – оси относительно которых осевые моменты инерции применяют экспериментальные значения: min и max.

А если они проходят через ЦТ сечения, то называются – главными центральными осями инерции.

Моменты инерции относительно этих осей назыв. – главными центральными моментами инерции.

Для двутавра , швеллера , уголка неравнополочного Ix всегда = max, Ixy = 0, Iy всегда = min,

У равнополочного уголка Ix=Iy

№35

Деформация изгиба харак-ся тем, что в поперечном сечении балки возникают момент изгибающий и часто одновременно с ним поперечная сила Q.

Чистый изгиб – если в сечении возникает момент изгибающий(М).

Поперечный изгиб – если в сечении возникает Q и М.

Плоский(прямой) изгиб – если силовая плоскость проходит через одну из главных плоскостей балки и ось деформируется в этой плоскости.

Силовая плоскость – плоскость в которой действует сила.

Для определения Q и М применяем уравнения статики.

Для определения Q применяем следующие уравнения:

=0; - F+Q=0; Q=F

Q- сумма проекций на У.

Поперечная сила в рассматриваемом сечении численно= алгебраич. сумме проекций всех сил действующих по одну сторону сечения на ось, перпендикулярную оси балки.

Правило знаков вводится для того, чтобы в одном и том же сечении получить Q и М одного знака, независимо от того, какую часть балки рассматриваем левую или правую.

№36

Правила построения эпбр Q и М:

1 )на участке, где балка не загружена эпюра Q прямая линия параллельная оси. В сечении где приложена сила эпюра Q испытывает скачок на величину данной силы.

1*) на участке, где Q положительное- эпюра моментов возрастает, где Q отрицательное – эпюра моментов убывает. В сечении где приложена сила эпюра моментов испытывает перелом. Остриё перелома направлено в сторону действия силы.

2) если балка загружена равномерно, то эпюра Q- наклонная линия.

2*) Под действием равномерно распределённой нагруки эпюра моментов квадратная парабола.В сечении, где Q=0 момент имеет экстримальное значение мах или мин.

3) пара сил с моментом не влияет на построение эпюры Q.

3*) А на эпюре М будем иметь скачок на величину момента пары сил.

Теорема Журавского:

1. Поперечная сила равна производной от изгибающего момента по длине балки.

=Q теорема Журавского

2. Интенсивность равномерно распределенной нагрузки равна производной от поперечной силы по длине балки.

Теорема Журавского позволяет строить эпюры моментов вычисляя площади эпюры Q.

Если ход слева, то знаки площадей эпюры Q не меняются.

Если ход справа, то знаки площадей меняются на противоположные.

Если на участке, где определяем площади действует пара сил с моментом, то он добавляется к площади со своим знаком.

№38

Нормально напряжение при изгибе на брус.

Рассмотрим резиновый брус прямоугольного сечения, на который нанесены вертикальные линии.

Волокна на стороне растягиваются на вогнутой-сжимаются, т.е. в поперечных сечениях балки выпуклой возникают нормальные напряжения.

Нейтральный слой – слой волокон, расположенный в середине балки, который не меняет своей длины, а только искревляются.

Балки прямоугольного и круглого сечения обычно изготовляют из дерева. Для металлических балок принимают более рациональные сечения чем для деревянных. Вместо прямоугольного сечения – двутавр и швеллер. Вместо круглого сечения – кольцо

№40

Касательные напряжения.

В поперечных сечениях при изгибе возникают M и Q поперечные силы.

От Мх – возникают нормальные напряжения

От Q –возникают косательные напряжения.

Появление касательных напряжений подтверждается следующим опытом: Рассмотрим цельную балку и балку состоящую из 2-ух брусов. Цельная балка –изогнётся, а брусья второй балки сдвинутся. При чём каждый брус деформируется независимо и имеет растянутые волокна и сжатые.

В цельной балке сдвигу слоёв препятствует косат.напряжения, которые на нейтральной оси- мах, а на поверхности=0.

В 1885 году Журавским была предложена формула для расчёта косат.напряж.:

Q- поперечная сила(из эпюры Q)

Sx- статический момент отсечённой части относительно оси х.

Sx,jx- для прямоугольника(по формуле берём).

В- ширина сечения

Для длинных балок расчёт проводят только по нормальным напряжениям.

Для коротких балок нагруженных значительными поперечными силами вблизи опор проводят расчёт т.е. по касательным напряжениям.

Если подбираем сечение из 2-ух швеллеров, то полученный результат Wx делим на 2.

№41

При изгибе ось балки искривляется, и точки, лежащие на ней получают некоторые перемещения наз-ся прогибами.

Прогиб(у) зависит от расстояния от начала координат.

Упругая линия – это изогнутая ось балки.

Помимо линейных перемещений сечение испытывает угловое перемещение.

Прогибы или перемещения определяют по формуле Мора или по правилу Верещагина.

На практике перемещения определяются по готовым формулам из справочников.