14Значимость крк Спирмена.

Для КРК проверка значимости полностью аналогична проверке значимости КРК Пирсона (см. параграф 22).

Осуществим проверку значимости найденных в вышерассмотренных примерах КРК.

rs = -0,455 n = 10 = 0,65

2 2

tнабл. = n – 2 (rs : 1 – rs ) = 10 – 2 (-0,455 : 1 – (-0,455) ) = -1,466

/2 = 0,05/2 = 0,025 = n – 2 = 10 – 2 = 8 tкр = 2,306

-2,306 -1,466 2,306

-tкр < tнабл. < tкр , то мы должны принимать гипотезу Н0, т.е. делаем вывод о том, что на уровне значимости 0,05 КРК Спирмена равен 0, т.е. не является значимым. В результате получаем окончательный вывод о том, что между количеством ошибок на тренажере и невербальным интеллектом корреляционной связи нет.

15. Коэффициент ранговой корреляции кендалла

Как и в случае КРК Спирмена исходные данные представляют собой две выборки, каждая из которых содержит n последовательных и несвязанных рангов, т.е. чисел от 1 до n. Кендалл построил свой коэффициент корреляции на количестве пар рангов, которые упорядочиваются в одинаковом направлении как по переменной х, так и по переменной у.

Для некоторой пары лиц констатируется совпадение, если их порядок как по переменной х, так и по переменной у одинаков. Для некоторой пары лиц констатируется инверсия, если их порядок по переменным х и у различен.

КРК Кендалла обычно обозначается и вычисляется по формуле:

= (P – Q) : ((n (n – 1)) :2), где P – общее количество совпадений; Q – общее количество инверсий. При вычислении КРК Кендалла для упрощения расчетов данные располагают по одной переменной (например, х) в порядке возрастания.

Так как для каждой пары может быть или совпадение или инверсия, то после подсчета совпадений количество инверсий равно количеству сравниваемых лиц (исключая себя) минус количество совпадений.

= (21 – 7) : (8 (8 – 1) : 2) = 0,5.

Отсюда видно, что между переменными х и у имеется прямая (положительная) средняя корреляционная связь.

В случае связанных (одинаковых) КРК Кендалла, как и КРК Спирмена, вычисляется по формуле:

= (P – Q) : [ n (n – 1) :2 – Kx ] [ n (n – 1) :2 – Ky ] , где поправки Кх и Ку вычисляются по следующим формулам:

k

Кх = [ fi (fi – 1)] : 2, где k - количество групп совпадающих

i=1

рангов по переменной х; fi - количество значений в i-той группе совпадений.

m

Ky = [gi (gi – 1)] : 2, где m - количество групп совпадающих

i=1

рангов по переменной у, gi - количество значений в i-той группе совпадений.

Наиболее часто на практике используется КРК Спирмена. Следует также отметить, что КРК Спирмена и КРК Кендалла связаны следующим приблизительным соотношением:

rs = 1,3

Значимость КРК Кендалла.

После вычисления КРК Кендалла необходимо проверить полученное значение КРК на значимость. Для этого воспользуемся общей схемой проверки статистической гипотезы.

1. Выдвигаются две статистические гипотезы:

Н0 о том, что КРК Кендалла статистически равен 0 и

Н1 о том, что этот КРК статистически отличен от 0.

Н0 : =0

Н1 : =0.

2. Выбирается уровень значимости .

3. Вычисляется наблюдаемое значение статистического критерия. Для этого сначала вычисляем величину

P – Q + 1 , P < Q

S=

P – Q – 1, P > Q, тогда наблюдаемое значение вычисляется по следующей формуле:

Zнабл. = S : (n (n – 1) (2n + 5)) : 18

4. Находим критическое значение статистики критерия. В нашем случае статистика критерия имеет стандартное нормальное распределение, поэтому для нахождения критического значения необходимо воспользоваться статистической таблицей стандартного нормального распределения (см. параграф 17). Zкр

1 - /2

5. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы по следующему правилу: 1) если - Zкр < Zнабл. < Zкр , то принимается нулевая гипотеза (Н0), т.е. делаем вывод о том, что КРК Кендалла статистически равен 0, т.е. является незначимым; 2) если Zнабл < - Zкр или Zнабл > Zкр, то принимается альтернативная гипотеза Н1, т.е. делаем вывод о том, что КРК Кендалла на уровне значимости статистически отличен от 0, т.е. является значимым.

т.е. - Zкр < Zнабл. < Zкр, то в нашем случае делаем вывод о том, что на уровне значимости 0,05 КРК Кендалла статистически равен 0, т.е. не является значимым.

Проверка гипотезы о равенстве двух коэффициентов корреляции.

Иногда может возникать задача сравнения для двух различных групп лиц. Например: сильнее ли коррелированы способности и успеваемость у мальчиков, чем у девочек?

Для решения такой задачи воспользуемся общей схемой проверки статистической гипотезы.

1. Выдвигаются две статистические гипотезы, основная нулевая Н0 о том, что КК двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы и альтернативная Н1 о том, что эти КК статистически различны.

Н0: 1 = 2, где 1 – КК между двумя исследуемыми показателями в первой ГС

Н1: 1 = 2, где 2 – КК между двумя исследуемыми показателями во второй ГС.

2. Выбираем уровень значимости .

3. Вычисляется наблюдаемое значение статистики критерия. Для этого сначала по исходным данным вычисляется КК, r1 и r2. После этого вычисленные КК с помощью преобразования Фишера преобразуются величины Z1 и Z2.

Z1 = ½ ln (1+r1) : (1 – r1)

Z2 = ½ ln (1+r2) : (1 – r2)

Тогда наблюдаемое значение статистики критерия вычисляется по следующей формуле:

Zнабл. = (Z1 – Z2) : (1 : (n – 3) + 1 : (m – 3), где n – количество лиц первой группы, а m – количество лиц второй группы.

4. Находится критическое значение статистики критерия. В нашем случае статистика критерия имеет стандартное нормальное распределение, поэтому для нахождения Zкр нужно воспользоваться статистической таблицей стандартного нормального распределения (см. параграф 17).

5. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы по следующему правилу: 1) если –Zкр < Zнабл < Zкр, то принимается гипотеза Н0, т.е. делаем вывод о том, что КК между исследуемыми показателями в двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы на уровне значимости . 2) если Zнабл < -Zкр или Zнабл > Zкр, то принимается гипотеза Н1, т.е. делаем вывод о том, что эти КК статистически различны на уровне значимости

Пример. В выборке из 200 детей в возрасте от 6 до 15 лет корреляция между интеллектом и скоростью обмена веществ определяется величиной r1 = 0,71. В выборке из 78 взрослых людей в возрасте от 18 до 25 лет интеллект и скорость обмена веществ имеют корреляционную связь, оцениваемую величиной r2 = 0,28. Проверить их статистическое совпадение.

Решение. Выбираем = 0,01.

Z1 = ½ ln (1+0,71) : (4 – 0,71) = 0,887

Z2 = ½ ln (1+0,28) : (1 – 0,28) = 0,288

Zнабл= (0,887 – 0,288) : 1 : (200 – 3) + 1 : (78 – 3) =4,4

Ищем критическое значение

1 - /2 = 1 – 0,01/2 = 0,995

Из таблиц находим, что Zкр = 2,58

Так как Zнабл > Zкр, то принимаем гипотезу Н1, т.е. корреляция между интеллектом и скоростью обмена веществ у детей сильнее (т.к. r1 > r2), чем у взрослых.