12) Однородные системы линейных уравнений. Признаки существования ненулевого решения.

Система называется однородной если все ее свободные члены = 0.

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение х₁=х₂=…х_n=0.

1. Если r(A)=n, то однородная система имеет единственное решение, нулевое.

2. Если r(A)<n, то однородная система имеет бесконечно множество решений.

Векторная алгебра.

1.Понятие вектора, его длины, орта, равных векторов, коллинеарных и компланарных векторов.

Опр: Величины вполне только одним числом называются скалярными величинами или скалярами.

Опр: Величины для определения которых кроме числа требуют задать еще и направление называются векторными.

Опр: Вектором называется направленный отрезок.

Опр: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Опр: Векторы называются компланарными если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Опр: Длинной или модулем вектора называется длинна направленного отрезка изображающего вектора. Вектор имеющий длину 0 называется нулевым вектором. Вектор имеющий длину 1 называется единичным вектором или ортой.

Опр: Два вектора называются равными если:1)они имеют одинаковую длинну 2)коллинеарны 3)одинаково направлены

2.Линейные операции над векторами. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые вектора.

1)Правило треугольника- суммой 2-х векторов а и в называется вектор с=а+в идущей из начала первого вектора а, в конец второго вектора в, при условии что начало второго вектора совпадает с концом первого.

2)Правило параллелограмма – вектор а и в переносят а пространстве в общее начало строят параллелограмм со сторонами а,в. Диагональ параллелограмма будут являться суммой векторов.

3)Правило многоугольника – суммой n векторов а+b…+ an называется вектор с идущий из начала первого вектора а,в конец последнего вектора an при условии,что начало каждого последующего вектора совпадает с концом первого.

4) Умножение вектора на число – произведением вектора а на число λ, называется вектором λ такой что 1) |λa|=|λ||α|, 2) α,λα-коллинеарны , 3) если λ>0 => α,λα – одинаково направлены. λ<0 => α,λα – противоположно направлены.

Линейные комбинации векторов.

Опр.- Линейная комбинация векторов называется вектор вида α₁a₁+α₂a₂….α_na_n, α₁a_1,α₂a₂….α_na_n – любое число.

Опр.- если вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов то говорят что он разложен по этим векторам

Опр.- Векторы α₁ ,α_n называется линейнонезависимыми, если из того что α₁a₁+α₂a₂….α_na_n =0 => что α₁=α₂…α_n =0

Опр.- вектор α₁ ,α_n - называются линейно зависимыми, если Ǝ существуют числа α_{1 ,}α_2,…α_n-ни все равные нулю и такие что α₁a₁+α₂a₂….α_na_n =0

3)Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии коллинеарности векторов.

Теорема 2.3.1

Два не нулевых вектора a,b коллинеарны тогда и только тогда когда существует единственное число α =0, такое что b= αa

///доказательство=> a,b-коллинерны

Пусть α =|b|/|a| или α=-|b|/|a| проверим, что b= αa

1)|αa|={по определению произведение вектора на число }=|α|*|a|=|b|/|a|*|a|

2)по условию b и a-коллинеарны, по определению произведение вектор на число a, αa-коллинеарны=>b, αa-коллинеарны

3)выберем α таким образом, чтобы b, αa-были одинаково направлены=>b, αa

Единственность α вытекает из единственности длин векторов

<= Ǝ! α не=0 b=αa тогда b и a-коллинеарны по определению проиведение вектора на число b=αa,a///