1.Молекулярно-кинетическая теория вещества.

Молекулярно-кинетическая теория (сокращённо МКТ) — теория, рассматривавшая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:

• все тела состоят из частиц: атомов, молекул и ионов;

• частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);

• частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.

Основными доказательствами этих положений считались:

• Диффузия(процесс взаимного проникновения молекул одного вещества между молекулами другого, приводящий к самопроизвольному выравниванию их концентраций по всему занимаемому объёму⁾

• Броуновское движение (беспорядочное движение микроскопических, видимых, взвешенных в жидкости (или газе) частиц (броуновские частицы) твёрдого вещества (пылинки, крупинки взвеси, частички пыльцы растения и др.), вызываемое тепловым движением частиц жидкости (или газа))

• Изменение агрегатных состояний вещества

Основное уравнение МКТ

, где k является постоянной Больцмана (отношение универсальной газовой постоянной R к числу Авогадро N_A), i — число степеней свободы молекул (i = 3 в большинстве задач про идеальные газы, где молекулы предполагаются сферами малого радиуса, физическим аналогом которых могут служить инертные газы), а T - абсолютная температура.

Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).

Термодинамические параметры состояния.

Термодинамические параметры-физические величины, характеризующие термодинамическое состояние системы.

Параметры:А)Экстенсивные параметры состояние, пропорциональные массе системы:

1. Объем

2. Внутренняя энергия

3. Энтропия

4. Энтальпия

5. Энергия Гиббса

6. Энергия Гельмгольца(свободная энергия)

Б)Интенсивные, независящие от состояния системы:

1. Давление

2. Температура

3. Концентрация

4. Магнитная индукция и т.д.

Основные:

V – объем системы или тела;

Р – давление (абсолютное значение средней силы, действующей со стороны вещества жидкости или газа на каждую из поверхностей помещенной в них единичной площадки);

Т – абсолютная температура, характеризует интенсивность теплового движения частиц системы.

Количественные характеристики атомов и молекул:

Относительная и абсолютная атомная и молекулярная массы.

Атомная единица массы (а.е.м.) равна 1/12 массы m атома углерода ¹²С (m одного атома ¹²С равна 1,993 • 10^-26 кг).

Относительная атомная масса элемента (A_r) – это безразмерная величина, равная отношению средней массы атома элемента к 1/12 массы атома ¹²С. При расчете относительной атомной массы учитывается изотопный состав элемента. Величины A_r определяют по таблице Д.И.Менделеева

Абсолютная масса атома (m) равна относительной атомной массе, умноженной на 1 а.е.м. Например, для атома водорода абсолютная масса определяется следующим образом:

m(H) = 1,008 • 1,661 • 10^-27 кг = 1,674 • 10^-27 кг

Относительная молекулярная масса соединения (M_r) – это безразмерная величина, равная отношению массы m молекулы вещества к 1/12 массы атома ¹²С:

Относительная молекулярная масса равна сумме относительных масс атомов, входящих в состав молекулы. Например:

М _r(C₂H₆) = 2 • A _r(C) + 6 • A _r(H) = 2 • 12 + 6 = 30.

Абсолютная масса молекулы равна относительной молекулярной массе, умноженной на 1 а.е.м.

2.Статистический характер законов молекулярной физики.

Исследование тех свойств тел, которые непосредственно наблюдаются на опыте, как суммарный результат действия молекул, пользуясь статистическим методом, т.е. интересуясь лишь такими средними величинами, которые характеризуют движение огромной совокупности молекул.

Элементы представления теории вероятностей.

Статистическим ансамблем физической системы называется набор всевозможных состояний данной системы, отвечающих определённым критериям.

Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события.

(вероятность выпадения на игральном кубике, вероятность ½,что человек на улице-женщина, вероятность достать красный карандаш из коробки и т.д.)

Теорема сложения вероятностей

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

            Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

            Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

            Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

            Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема умножения вероятностей

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Определение среднестатистических значений физических параметров.

Среднестатистическое значение есть частное суммы измерений и результатов на число систем в ансамбле.

Распределение Гиббса.

Распределение Гиббса — распределение вероятностей различных состояний термодинамической системы.

Микроканоническое распределение 

Микроканоническое распределение Гиббса — распределение вероятностей различных состояний замкнутой макроскопической системы, т. е. системы, не взаимодействующей с окружающими телами и имеющей постоянную энергию. Подобная система в действительности не может быть получена и является идеализированной. Ее состояния являются вырожденными: каждому значению энергии могут соответствовать различные состояния. Кратностью вырождения данного состояния N(E) называется число состояний, обладающих энергией E.

• Микроканоническое распределение основано на предположении о равной вероятности различных состояний, имеющих одну и ту же энергию. При изображении состояния системы в фазовом пространстве каждому состоянию соответствует ячейка (клетка), и их совокупность с заданной энергией образует некоторую поверхность E = const.

• Макроскопические системы, которые могут в течение достаточно большого времени пребывать в любом состоянии с данной энергией, называются эргодическими. Предположение, лежащее в основе микроканонического распределения, означает, что изобразительная точка в фазовом пространстве с равной вероятностью располагается в любой ячейке фазового пространства на поверхности E = const.

• Для эргодических систем, состояния которых с данной энергией E равновероятны, справедливо утверждение: если макроскопическая система в некоторый момент времени находится в данном состоянии с энергией E, то с течением времени она будет самопроизвольно переходить в любые другие состояния с той же энергией н находиться в каждом из них (в среднем) одинаково долго.

• Вероятность i-го состояния системы w(Ei) выражается микроканоническим распределением Гиббса:

w(Ei) = ZN(Ei).

Коэффициент пропорциональности Z определяется из условия вероятностной нормировки

∑	w(Ei).
i

• Микроканоническое распределение Гиббса лежит в основе канонического распределения Гиббса.

Каноническое распределениние

Каноническое распределение Гиббса — распределение вероятностей различных возможных состояний некоторой квазизамкнутой подсистемы, т. е. некоторой части замкнутой макроскопической системы. Подсистема называется квазизамкнутой, если ее собственная энергия в среднем велика по сравнению с энергией ее взаимодействия с остальными частями замкнутой системы (называемыми термостатом). Например, каждая молекула идеального газа при не слишком низких температурах является квазизамкиутой подсистемой. Ее собственная кинетическая энергия в среднем намного превышает энергию ее взаимодействия с другими молекулами газа (термостатом).

• Взаимодействие подсистемы с термостатом приводит к изменению ее состояний: она может переходить как в состояния с первоначальной энергией, так и в состояния с другими значениями энергии. При последних переходах подсистема обменивается энергией с термостатом, увеличивая или уменьшая свою энергию.

• Вероятность состояния подсистемы зависит только от ее энергии. Согласно дискретному (квантовому) каноническому распределению Гиббса

где w(Ei) — вероятность пребывания квазизамкиутой подсистемы в состоянии с энергией   — кратность «вырождения» (кратность состояния с энергией Ei), Θ — модуль канонического распределения, или статистическая температура — температура, выраженная в энергетических единицах. Универсальным коэффициентом пропорциональности, переводящим статистическую температуру Θ из эргов в градусы, является постоянная Больцмана kB:

Θ = kBT > 0.

Величина   называется суммой по состояниям, или статистической суммой.

• Для систем, энергия состояний которых изменяется квазинепрерывно, т. е. расстояния между энергетическими уровнями которых малы сравнительно с Θ = kBT, дискретное (квантовое) распределение Гиббса переходит в классическое каноническое распределение:

где   — число различных состояний, отвечающих интервалу энергий от E до E + dE,

Z — интеграл состояний или фазовый интеграл. Для системы N тождественных частиц

где dΓ — элемент фазового объема, h — постоянная Планка, s — число степеней свободы системы, а интегрирование проводится по всему фазовому пространству данной системы. Интеграл состоянии истатистическая сумма связаны со свободной энергией F системы соотношением

• Для подсистемы с большим числом частиц каноническое распределение Гиббса имеет резкий максимум. Такая подсистема наибольшую часть времени находится в наиболее вероятном состоянии с соответствующей ему энергией. Если подсистемой является одна молекула идеального газа, то каноническое распределение Гиббса переходит в распределение Больцмана. Каноническое распределение Гиббса применяется при отыскании среднего значения   физической величины M, характеризующей состояние системы и зависящей от ее энергии:

При непрерывном изменении состояний

• Вычисление Z позволяет отыскать термодинамические функции и уравнение состояния данной системы

Вопрос №3

Распределение Максвелла

В состоянии теплового равновесия как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул в газе, при Т=cоnst, остается постоянной и равной

.

Это объясняется тем, что в газе устанавливается некоторое стационарное статистическое распределение молекул по значениям скоростей, называемое распределением Максвелла. Распределение Максвелла описывается некоторой функцией f(), называемой функцией распределения молекул по скоростям.

,

где N – общее число молекул, dN() – число молекул, скорости которых принадлежат интервалу скоростей от  до  + d.

Таким образом, функция Максвелла f() равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей вблизи значения . Или она равна доле молекул, скорости которых принадлежат единичному интервалу скоростей вблизи значения .

Явный вид функции f() был получен теоретически Максвеллом:

.

График функции распределения приведен на рис. 12. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при 0 и  и проходит через максимум при некоторой скорости _В, называемой наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно _В. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие для максимума функции f().

.

На рис. 13 показано смещение _В с изменением температуры, при этом площадь под графиком остается постоянной и равной 1, что следует из условия нормировки функции Максвелла

.

Условие нормировки следует из смысла данного интеграла – он определяет вероятность того, что скорость молекулы попадает в интервал скоростей от 0 до . Это достоверное событие, его вероятность, по определению, принимается равной 1.

Знание функции распределения молекул газа по скоростям позволяет вычислять средние значения любых функций скорости, в частности средней арифметической скорости <>.

.

Рис.12 Рис. 13

По функции Максвелла можно определить долю молекул, скорости которых принадлежат заданному интервалу скоростей или превышают некоторое значение скорости, например вторую космическую, что определяет рассеяние атмосферы.

.

Первое эксперементальное определение скоростец молекул было осуществлено Отто Штерном в 1920 году. Для постановки опыта по измерению средней скорости движения молекул О. Штерн  спроектировал специальную установку. Прибор состоял из двух жестко соединенных коаксиальных цилиндров с радиусами R и r (рис. 1-3). Во внутреннем цилиндре по оси была расположена платиновая нить А. Исследуемым газом в опыте служили разреженные пары серебра. Атомы получались при испарении слоя серебра, нанесённого на платиновую нить, нагревавшуюся электрическим током. Воздух в  малом цилиндре был откачан, поэтому испарившиеся атомы серебра свободно разлетались от нити  во все стороны.

На внутренней поверхности внешнего цилиндра помещалась съемная латунная пластинка В. Пластинка имела комнатную температуру. На этой пластинке в области E атомы серебра, охладившись, оседали в виде узкой серебренной полоски.

.

Если привести весь прибор во вращение, след, оставляемый молекулярным пучком, сместится по поверхности внешнего цилиндра на некоторую величину ΔS.Это произойдет потому, что за время, пока атомы серебра пролетают зазор между цилиндрами, прибор успевает повернуться на некоторый угол Δ φ, в результате против пучка окажется другой участок наружного цилиндра, смещенный относительно первоначального следа So на величину ΔS,равную RΔφ (R-радиус внешнего цилиндра.)Рассматривая движение атомов серебра в связанной с цилиндрами вращающейся системе отсчета, смещение слела можно объяснить действием на атомы кориолисовой силы, равной 2m[v ω].

Расстояние ΔS между первоначальной и смещенной полосками серебра можно связать с угловой скоростью вращения цилиндров ω, геометрией прибора и скоростью атомов v.Обозначив время пролета через Δt, можно написать. что:

ΔS= ωR Δt

Поскольку радиус внутреннего цилиндра мал по сравнению с радиусом внешнего цилиндра R,время пролета Δt можно положить равным

Δt=R/v

Подставив это выражение в первую формулу и разрешив это уравнение относительно v получим

V= ωR²/ ΔS

Измерив смещение следа ΔS и скорость вращения прибора, можно определить скорость атомов v.Правда, вследствие распределения по скоростям атомы имеют различные скорости ,и в результате смещенный слой будет размытым. Исследуя профиль следа, можно было составить примерное представление о распределении атомов серебра по скоростям.

Результаты опыта Штерна подтвердили правильность оценки средней скорости атомов ,которая вытекает из распределения Максвелла.

Более точно закон распределения был проведен в опыте Ламмерта (1929 г.), в котором молекулярный пучок пропускался через два вращающихся диска с радиальными щелями,смещенными друг относительно друга на некоторый угол φ. (рис 71)

Из числа молекул, пролетевших через щель в первом диске, пролетят через второй диск только те, которые подлетят нему в тот момент, когда на пути пучка встанет прорезь во втором диске. Более быстрые молекулы достигнут второго диска слишком рано, а более медленные-слишком поздно для того, чтобы пройти через щель. Таким образом это устройство позволяет выделить из пучка молекулы, обладающие определенным значением скорости (из-за конечной ширины щелей прибор выделяет молекулы, скорости которых лежат в пределах некоторого интервала ΔV)

Средняя скорость выделяемых прибором молекул может быть найдена из условия, что время t₁, за которое молекулы пролетают расстояние l между дисками (t₁=l/v),должно совпадать со временем t₂,за которое диски повернутся на угол φ(t₂=φ/ ω).Приравняв оба времени, получим

V= ωl/ φ

Меняя скорость вращения прибора ω (или угол между дисками φ),можно выделять из пучка молекулы, обладающие различными значениями скорости. Улавливая затем эти молекулы в течение определенного времени, можно определить их относительное количество в пучке.

Результаты опыта Ламмерта и других опытов, предпринимавшихся с той же целью, находятся в полном согласии с законом распределения, установленным теоретически Максвеллом.

ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ - число возможных физически неэквивалентных энергетич. состояний в малом интервале энергии отнесённое к ширине интервала где - число состояний с энергиями между (с учётом возможного вырождения энергетич. состояний)

Вопрос №4