- •I. Основы сопротивления материалов.
- •Внешние силы (нагрузки).
- •1.3 Напряжения
- •1.4 Диаграмма растяжения
- •1.5 Деформация растяжения и сжатия
- •Методика решения практических задач
- •1.6 Деформация сдвига (среза)
- •Деформация смятия
- •Геометрические характеристики сечений
- •Деформация кручения
- •Деформация изгиба
- •1.11. Определение перемещений при изгибе по способу Верещагина
- •1.12. Устойчивость сжатых стержней
- •I I. Основы взаимозаменяемости
- •Шероховатость поверхности
- •Литература
- •I I I Основы теории механизмов и машин (тмм)
- •Структурный анализ механизмов
- •Основные понятия и определения
- •Степень подвижности механизма
- •Замена высших кинематических пар низшими
- •Структурный синтез и анализ механизмов
- •Кинематический анализ механизмов
- •Определение положений и перемещений звеньев механизма
- •Определение скоростей и ускорений точек и звеньев механизма
- •IV Детали машин
- •Зубчатые передачи.
- •Элементы зубчатых колес.
- •Передаточное отношение, передаточное число
- •Силы в зацеплении цилиндрических зубчатых колес
- •Прочностной расчет цилиндрических зубчатых передач
- •Расчет зубьев на контактную прочность
- •Расчет зубьев на изгиб
- •Точность зубчатых передач
- •Степень точности по гост 1643-81 – 7-с
- •Степень точности по гост 1643-81 – 6- 7-7-е, это значит, что степень точности по норме кинематической точности – 6, а по нормам плавности работы и контакта зубьев –7.
- •Способы (методы) нарезания зубьев
- •Метод (способ) копирования (рис.4.6)
- •Способ (метод) обкатки
- •Передачи коническими зубчатыми колесами
- •Пример выполнения чертежа зубчатого колеса (рис. 4.9).
- •Червячные передачи
- •Фрикционные передачи
- •Ременные передачи
- •Плоскоременные передачи
- •Шкивы плоскоременных передач
- •Клиноременные передачи
- •Последовательность расчета
- •Цепные передачи
- •Оси и валы
- •Подшипники качения
- •Резьбы: типы и обозначения
- •Болтовые соединения
- •Выбор электродвигателя и кинематический расчет привода
1.12. Устойчивость сжатых стержней
Физический смысл устойчивости Вы можете понять, проведя эксперимент. Возьмите тонкую гибкую линейку. Поставьте ее одним концом на стол, а на другой конец надавите рукой, увеличивая усилие. В начале линейка не изгибается (положение устойчивого равновесия), наступает момент, когда линейка, слегка изогнувшись, начинает «дышать» под вашей рукой (положение безразличного равновесия), при дальнейшем увеличении силы линейка резко изгибается (теряет устойчивость), это (положение неустойчивого равновесия).
Сила, при которой наступает безразличное равновесие, называется критической силой Fкр. Очевидно, что допускаемая нагрузка должна быть меньше критической силы
[ F] = Fкр/ nу, (1.15)
где nу – коэффициент запаса устойчивости.
Рекомендуется: для стали nу = 1,8…3; для чугуна nу = 5…5,5; для дерева nу = 2,8…3,2. Однако, в зависимости от условий работы конструкции и от ее специфики, Вы можете увеличить этот коэффициент. Так для ходовых винтов металлорежущих станков принимают nу = 4…5.
Критическая сила определяется по формуле
Рис.1.23 Эйлера
Fкр = π2*Е*Jmin/(μ*l)2, (1.16)
где Е – модуль упругости; Jmin – минимальный осевой момент инерции;
l – длина стержня; μ – коэффициент, зависящий от способа закрепления концов стержня (рис.1.23).
Напряжения в стержне при критической силе определяются зависимостью
σ кр = Fкр/А = π2*Е*Jmin/[(μ*l)2*А] =
= π2*Е/(μ*l/imin)2 = π2*Е/λ2 ≤ σ пц, (1.17)
где imin = √ Jmin/А – наименьший радиус инерции сечения стержня;
λ = μ*l/ imin – гибкость стержня; σ пц – предел пропорциональности материала стержня (см. диаграмма растяжения).
Из формулы (1.17) получаем λ ≥ π*√Е/ σ пц – это условие применимости формулы Эйлера. Так для малоуглеродистой стали λ ≥ 100; для чугуна λ ≥ 80; для дерева λ ≥ 110; для легированных сталей λ ≥ 70.
В практике расчета строительных конструкций очень часто проводят подбор сечений сжатых стержней именно из условия устойчивости. При этом используется формула
[F] = φ* [σ с]*А, (1.18)
где [σ с] – допустимые напряжения на сжатие; φ – коэффициент, зависящий от материала и гибкости стержня (берется из таблиц). Из формулы (1.18) имеем
А = [F]/( φ* [σ с]).
Коэффициентом φ задаются в первом приближении (обычно φ = 0,5), определяют А, выбирают профиль. Затем определяют гибкость λ, уточняют φ и снова находят А. Расчеты продолжают до получения оптимального соотношения устойчивости и прочности (обычно это 2 или 3 приближения).
В качестве примера проверим на устойчивость подкос (рис.1.7).
Дано:
F = Ν = 3510 Н; Е = 8*104 МПа; l = b/Cos(35о) = 0,8/0,82 = 0,97 м;
А = 48 мм2, соответственно d = 8 мм; [σ] = 74 МПа, μ = 1.
Решение:
Определим критическую силу
Fкр = π2*Е*Jmin/(μ*l)2 = 3,142*2*105*0,05*84/(1*9702) = 429 Н < F = 3510 Н.
Видим, что стержень диаметром 8 мм не выдерживает на устойчивость.
Возьмем обыкновенную водогазопроводную трубу 21,3х2,8 (труба с условным проходом 15мм). Площадь сечения трубы 162 мм2 > А = 48 мм2.
Jmin = 0,05(D4 – d4) = 0,05*(21,34 – 15,74) = 7254 мм4.
Fкр = π2*Е*Jmin/(μ*l)2 = 3,142*2*105*7254/(1*9702) = 15203 Н > F = 3510 Н.
Коэффициент запаса устойчивости nу = Fкр/ F = 4,33.
Труба проходит по всем параметрам.
Вывод: при создании реальных конструкций не всегда достаточно расчета отдельных элементов по одному из видов деформаций, необходим всесторонний анализ конструкции и проверочный или проектировочный расчет по всем возможным видам деформаций если результат не очевиден.
Вот и закончен краткий курс сопротивления материалов. Надеюсь, его будет достаточно для решения большинства Ваших практических задач. Для тех, кто хочет расширить свои знания и решать задачи более сложные, чем мы рассмотрели, из очень обширного перечня рекомендую литературу, написанную (на мой взгляд) достаточно простым и понятным языком.
Литература
Степин П.А. Сопротивление материалов. 9-е изд.- М.: Интеграл-пресс, 1997. – 320с.
Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 10-е изд. – М.: Из-во МГТУ, 1999. – 590 с.
Беляев Н.М. Сопротивление материалов. 15-е изд. – М.: Наука, 1976. – 607 с.
Любошиц М.И., Ицкович Г.М. Справочник по сопротивлению материалов. – Минск: Вышэйшая школа, 1969. – 464 с.
Сборник задач по сопротивлению материалов / Под ред. А.А.Уманского. – М.: Наука, 1975. – 496 с.