7. Деформация кручения

Этот вид деформации происходит, когда к стержню прикладываются только крутящие моменты, например, на кручение работает карданный вал автомобиля. На кручение рассчитываются и другие валы, где крутящий момент имеет превалирующее значение в сравнении с другими внешними силами (валы электродвигателей, редукторов и др.).

Р ассмотрим кручение консольно закрепленного стержня крутящим моментом, приложенным к свободному концу стержня (рис.1.14).

Нанесем на стержень прямоугольную сетку. Под действием крутящего момента стержень закрутится на некоторый угол и сетка исказится. Горизонтальные линии станут наклонными, а

Рис.1.14 прямоугольники превратятся в паралелограммы. При этом, как показывают опыты, расстояние между параллельными сечениями не изменяются, то есть при кручении не происходит растяжения или сжатия стержня. Следовательно, при кручении отсутствуют нормальные напряжения, а возникают только касательные напряжения. К такому же выводу приводит и тот факт, что на поверхности стержня прямоугольники превращаются в паралелограммы. Подобная картина наблюдалась в деформации сдвига (среза), а там в сечении возникали только касательные напряжения.

Если внешними являются только крутящие моменты, то внутренними будут тоже крутящие моменты.

Исходя из выше изложенного, можно записать условие прочности

τ = Мкр/ Wр ≤ [τ] - условие прочности при кручении (1.11)

Wр - момент сопротивления сечения кручению (см. геометрические характеристики сечений).

К роме прочностных расчетов приходится определять углы закручивания стержня. Формула для определения угла закручивания имеет вид

φ = Мкр*l/(G* Jр), рад. (1.12)

Здесь Мкр – внутренний крутящий момент на участке стержня; l – длина участка стержня;

G – модуль сдвига материала стержня; Jр – полярный момент инерции сечения участка стержня.

М етодику расчетов на кручение рассмотрим на конкретном примере (рис.1.15).

Дано:

Мкр₁ = 100 Н*м; Мкр₂ = 200 Н*м;

Мкр₃ = 500 Н*м;

σ_в = 900 МПа; G = 8*10⁴ МПа;

a = 200 мм; b = 150 мм; c = 100 мм;

d = 20 мм.

а) б) в)

Рис.1.15

Определить:

1 – построить эпюру крутящих моментов;

2 – определить, выдержит стержень приложенную нагрузку или нет ?

3– подобрать минимальные диаметры участков стержня;

4 – построить эпюру углов закручивания.

Решение.

Запишем условие прочности

τ = Мкр/ Wр ≤ [τ]

Оценим условия работы конструкции. Предположим, что условия работы опасные, принимаем n = 6. Тогда [σ] = σ_в/ n = 900/6 = 150 МПА;

[τ] = 0,5[σ] = 75 МПа.

С помощью метода сечений определим внутренние моменты.

Мкр _I = Мкр₁ = 100 Н*м. Мкр _{I I} = Мкр₁ - Мкр₂ = 100 – 200 = - 100 Н*м.

Мкр _{I I I} = Мкр₁ - Мкр₂ + Мкр₃ = 100 – 200 + 500 = 400 Н*м.

Построим эпюру крутящих моментов (рис.1.15, б).

Зная d, определим Wр = 0,2 d³ = 0,2*20³ = 1600 мм³.

Наиболее опасным является 3-й участок, поскольку в нем возникает наибольший (по модулю) крутящий момент. Напряжения на этом участке равны

τ = Мкр _{I I I}/ Wр = 400*10³/1600 = 250 МПа > [τ] = 75 МПа.

Вывод – стержень не выдержит.

Выделим из условия прочности Wр.

Wр ≥ Мкр/[τ].

Найдем Wр на каждом участке стержня

Wр _I ≥ Мкр _I /[τ] = 100*10³/75 = 1333 мм³.

Wр _{I I} ≥ Мкр _{I I} /[τ] = 100*10³/75 = 1333 мм³ ( момент берется по модулю).

Wр _{I I I} ≥ Мкр _{I I I} /[τ] = 400*10³/75 = 5333 мм³.

Определим диаметры на участках стержня по формуле d ≥ ³√5 Wр.

d _I ≥ ³√5 Wр _I = ³√5*1333 = 18,8 ≈ 19 мм. d _{I I} = d _I = 19 мм.

d _{I I I} ≥ ³√5 Wр _{I I I} = ³√5*5333 = 29,9 мм ≈ 30 мм.

Мы получили равнопрочный стержень, у которого напряжения во всех сечениях одинаковые и равны [τ] = 75 МПа, а вес минимальный из всех возможных при принятом коэффициенте запаса прочности.

Запишем формулу для определения углов закручивания

φ = Мкр*l/(G* Jр) , рад, где Jр = 0,1 d⁴ (1 рад. = 57,3 ^о).

φ_а = Мкр _I * a /(G* Jр _I) = 100*10³*200/(8*10⁴*0,1* 19⁴) = 0,019 рад.= 1,1 ^о .

φ_b = Мкр _{I I} * b /(G* Jр _{I I}) = - 100*10³*150/(8*10⁴*0,1* 19⁴) = - 0,014 рад.= - 0,8 ^о

φ_c = Мкр _{I I I} * c /(G* Jр _{I I I}) = 400*10³*100/(8*10⁴*0,1* 30⁴) = 0,006 рад.= 0,4 ^о .

φ_∑ = φ_а + φ_b + φ_c = 1,1 – 0,8 + 0,4 = 0,7 ^о .

Эпюра углов закручивания показана на рис.1.15, в.