- •Кривые второго порядка
- •§ 3.1. Окружность.
- •§ 3.2. Эллипс
- •Для построения дуги эллипса, лежащей в I четверти, надо в правой части (3.14) взять знак плюс и изменять X только от 0 до a:
- •Рассмотрим теперь уравнение
- •§ 3.3. Гипербола
- •§ 3.4. Парабола
- •При парабола будет направлена в положительном направлении соответствующей оси координат, а при – в отрицательном.
- •§ 3.5. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
- •§ 3.7. Поворот осей координат
- •§ 3.9. Исследование общего уравнения кривой второго порядка Наиболее общее уравнение второй степени относительно и имеет вид:
- •В случае уравнения (3.54) этот вариант равен произведению , поскольку . Значит, , т. Е. Можно определить тип кривой второго порядка непосредственно по коэффициентам общего уравнения (3.49)
В случае уравнения (3.54) этот вариант равен произведению , поскольку . Значит, , т. Е. Можно определить тип кривой второго порядка непосредственно по коэффициентам общего уравнения (3.49)
при кривая будет эллиптического типа (эллипс или окружность, точка, мнимый эллипс, мнимая окружность; при этом окружность мы будем иметь только при и );
при – гиперболического типа (гипербола, пара пересекающихся прямых);
при – параболического типа (парабола или пара параллельных прямых – различных вещественных, совпавших или мнимых).
Инвариант , от знака которого, как мы видим, зависит тип кривой второго порядка, называют дискриминантом кривой.
Инвариант не единственный: другим инвариантом является сумма .
Итак, окончательный итог нашего исследования: существует только три типа кривых второго порядка (кривых в собственном смысле этого слова): эллипс (частным случаем которого является окружность), гипербола и парабола. Уравнение второй степени относительно и не может определять на плоскости ничего другого, кроме этих кривых и перечисленных выше случаев распада и вырождения.
В заключении этой главы рассмотрим пример исследования и построения кривой второго порядка по ее уравнению вида (3.49).
Пример.
Дана кривая: . Так как , то кривая – эллиптического типа.
По формуле (3.53) определяем угол поворота осей :
;
по тангенсу определяем :
.
Выберем в правой части знак минус (при этом будем иметь и сам угол острый). Теперь по находим и (в силу выбора угла они оба положительны):
,
.
Используя соотношение (3.42), записываем формулы преобразования координат:
,
.
Подставляя эти значения и в уравнение кривой, приводим его к виду:
.
После сокращения всех членов полученного уравнения на 5 находим:
.
Дополняем члены с и до полных квадратов:
,
откуда, деля все члены на 36, приходим окончательно к уравнению:
,
определяющему эллипс с полуосями и , центр которого по отношению к координатным осям и находится в точке и оси которого параллельны этим осям.
Расположение эллипса в старой и в новой системе координат представлено на рис. 3.17.