§ 3.4. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояния которых от заданных на той же плоскости точки (фокуса параболы) и прямой (директрисы параболы) равны между собой.
Пусть точка F – фокус; прямая KL – директриса параболы; М – произвольная точка параболы (рис. 3.7).
По определению параболы:
(3.29)
,
где В – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису KL.
Введем
обозначение
,
где
– основание перпендикуляра, опущенного
из фокуса на директрису; величину
,
расстояние от фокуса до директрисы,
называют параметром
параболы.
Для
вывода простейшего уравнения параболы
оси координат расположим следующим
образом: начало координат поместим в
точку О
– середину отрезка
;
за ось
примем прямую, которой принадлежит
отрезок
,
причем за положительное ее направление
примем направление от точки О
к фокусу F;
ось
направим перпендикулярно оси
,
т. е. параллельно директрисе.
При
таком выборе осей координаты фокуса
будут
,
а уравнение директрисы
.
Для точки , лежащей на параболе, имеем:
,
;
подставляя эти значения в равенство (3.29), получаем:
(3.30)
Возведем обе части уравнения (3.30) в квадрат, одновременно раскрывая скобки:
.
Приводя подобные члены, получим простейшее (каноническое) уравнение параболы:
(3.31)
.
Построим параболу по этому уравнению.
Прежде
всего отметим, что вся парабола расположена
справа от оси
;
в самом деле, в уравнении (3.31) левая часть
неотрицательна (
),
в правой части
;
следовательно, и второй множитель правой
части неотрицателен:
.
Поскольку в уравнение (3.31) текущая координата входит только во второй степени, заключаем, что ось является осью симметрии параболы. При и : парабола проходит через начало координат; эту точку называют вершиной параболы.
При
возрастании
одновременно возрастает и абсолютная
величина
,
ибо
(см. рис. 3.7).
При
построении параболы полезно помнить,
что ордината точки
параболы, лежащей над ее фокусом, равна
параметру параболы
;
в самом деле, при
из уравнения параболы (3.31) находим:
,
откуда
.
Таким
образом, длина хорды
параболы, проходящей через ее фокус
перпендикулярно оси параболы, равна
(см. рис. 3.7).
Если
повернуть параболу относительно осей
координат на угол
против часовой стрелки, то в уравнении
(3.31) координаты
и
поменяются местами и уравнение такой
параболы запишется так:
(3.32)
.
Вершиной
этой параболы по-прежнему является
начало координат, но осью симметрии
будет служить ось
;
парабола лежит над осью
.
Фокусом этой параболы будет точка
;
директрисой – прямая
(рис. 3.8).
Нетрудно далее убедиться в том, что уравнения:
(3.33)
и
(3.34)
(в
обоих случаях
)
также определяют параболы, которые от
парабол, определяемых уравнениями
(3.31) и (3.32), отличаются только тем, что
они направлены в сторону, противоположную
направлению соответствующих координатных
осей: первая – вдоль отрицательной оси
,
вторая – вдоль отрицательной оси
(см. пунктир на рис. 3.7 и 3.8).
Рекомендуем читателю самому найти координаты фокусов этих парабол и уравнения их директрис.
Уравнения парабол (3.31) и (3.33) можно записать в виде единого уравнения:
(3.31')
,
а уравнения парабол (3.32) и (3.34) – в виде уравнения:
(3.32')
,
если
в уравнениях (3.31')
и (3.32')
рассматривать
как коэффициент, принимающий и
положительные, и отрицательные значения
(параметр параболы будет равен
).