3. Взаимное расположение прямых в пространстве
Если в пространстве даны две прямые, то они могут 1) быть параллельны, 2) пересекаться, 3) скрещиваться.
Выясним, как по уравнениям прямых определить их взаимное расположение.
Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями:
: , : .
Е сли прямые параллельны, то их направляющие векторы
и
коллинеарные. Так как коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то условие параллельности прямых будет иметь вид:
. (7)
Т еперь рассмотрим две пересекающиеся прямые. Такие прямые можно поместить в одну плоскость. Но это значит, что векторы , и будут компланарны. Следовательно,
, (8)
или, в координатной форме,
. (9)
Таким образом, если прямые и не параллельны и для них выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они пересекаются.
Так как скрещивающиеся прямые нельзя поместить в одну плоскость, то для скрещивающихся прямых условие (8) не выполняется. Следовательно, если прямые и не параллельны и для них не выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они скрещиваются.
НАПРИМЕР. Прямые
: и :
будут параллельны, так как их направляющие векторы и удовлетворяют условию (7):
.
Прямые
: и :
не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие (9):
Следовательно, прямые и – пересекаются.
И, наконец, рассмотрим прямые
: и : .
Они не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них не выполняется условие (9):
Следовательно, прямые и – скрещиваются.
4. Задачи, связанные с взаимным расположением прямых
Рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, которые связаны с взаимным расположением прямых в пространстве.
ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми и называется угол между прямой и проекцией прямой на любую плоскость, проходящую через прямую .
И наче говоря, угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.
Пусть даны две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые:
: и : .
Обозначим , – направляющие векторы первой и второй прямой соответственно.
Так как один из углов между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а второй угол , то углы и могут быть найдены по формуле
,
или ,
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.
З АДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.
Пусть дана прямая
:
и – точка, не принадлежащая этой прямой. Обозначим – направляющий вектор прямой , – точка на прямой , – расстояние от точки до .
Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах и . Тогда – высота этого параллелограмма, опущенная из вершины . Следовательно,
.
ПРИМЕР. Найти расстояние от точки до прямой : .
Из условия задачи имеем: , . Тогда
,
,
, ,
– искомое расстояние.
ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Пусть даны две скрещивающиеся прямые
: и : ,
и – расстояние между и .
Построим плоскость , проходящую через прямую параллельно . Тогда – расстояние от прямой до плоскости . Найти это расстояние можно по формуле:
,
где – общее уравнение плоскости ,
– любая точка на прямой .
ПРИМЕР. Найти расстояние между двумя прямыми
: и : .
1) Прежде всего, установим взаимное расположение данных прямых. По условию задачи: и – направляющий вектор и фиксированная точка первой прямой, и – направляющий вектор и фиксированная точка второй прямой; . Имеем:
1) ∦ – прямые не параллельны;
2) вычислим :
.
Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.
2) Запишем уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно :
: .
Тогда – расстояние от точки до плоскости :
.
Замечание. Предложенный способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми – не единственный. Можно найти это расстояние, используя векторную алгебру.
Д ействительно, построим на векторах , и пирамиду.
Тогда – высота пирамиды, опущенная из точки и, следовательно,
ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.
Пусть даны две пересекающиеся прямые
: и : ,
– точка пересечения прямых. Тогда – решение системы уравнений
или, переходя к параметрическим уравнениям прямой,
ПРИМЕР. Найти точку пересечения прямых
: и : .
1) Прямые и не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие (9):
.
Следовательно, прямые и – пересекаются.
2) Найдем точку пересечения прямых. Для этого перейдем к их параметрическим уравнениям:
: и :
и решим систему
, ;
, , .
Таким образом, точкой пересечения прямых является точка