4.2.2 Определение расстояний от точки до прямой

Задача 4. 2. Определить расстояние от точки С до прямой АВ (рисунок 24).

План решения:

а) через точку С строим плоскость, задав ее фронталью f и горизонталью h (h₁  А₁В₁, f₂  А₂В₂). Ориентируем эту плоскость перпендикулярно отрезку АВ, т.к. перпендикуляр из точки С на отрезок АВ обязательно лежит в этой плоскости;

б) задача свелась к нахождению точки пересечения отрезка АВ с построенной через точку С плоскостью (f ∩ h):

‑ через фронтальную проекцию А₂В₂ проводим вспомогательную секущую плоскость Р_V;

‑ построим горизонтальную проекцию линии пересечения 1₁ – 2₁;

‑ там, где проекция прямой 1₁ – 2₁ пересекает проекцию отрезка А₁В₁ находится проекция точки К₁, точка К общая и для прямой АВ, и для плоскости, заданной фронталью и горизонталью. По линии связи отмечаем положение точки К₂ на фронтальной проекции;

в) отрезок СК расположен перпендикулярно отрезку АВ (т.к. лежит в плоскости (f ∩ h)) и определяет расстояние от точки С до прямой АВ. Натуральную величину отрезка находим методом прямоугольного треугольника.

Рисунок 24 ‑ Определение расстояний от точки С до прямой АВ

Подготовка к контрольной работе № 1. Контрольная работа № 1 включает задачи, объединяющие темы 1, 2, 3, 4.

Тема 5 «Преобразование чертежа методом замены плоскостей проекций»

Задачи по теме 5 выдаются на пятой неделе, после проведения лекции 4 [1, 2, 7].

Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал: способ преобразования комплексного чертежа с помощью замены плоскостей проекций, а именно, решение четырех основных задач преобразования чертежа:

- превращение отрезка общего положения в прямую уровня;

- превращение отрезка общего положения в проецирующий;

- превращение плоскости общего положения в проецирующую;

- превращение плоскости общего положения в плоскость уровня.

5.1 Теория к выполнению индивидуального задания

Решение задач методами замены плоскостей проекций сводится к выполнению четырех основных задач:

а) преобразование прямой общего положения в прямую уровня (определение углов наклона прямой к плоскостям проекций и натуральной величины отрезка прямой);

б) преобразование прямой общего положения в проецирующую (определение величины двугранного угла, расстояния между прямыми);

в) преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость (определение углов наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций, расстояния от точки до плоскости);

г) преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (определяется натуральная величина плоскости).

Рассмотрим вопрос «Преобразование прямой общего положения в прямую уровня» на примере определения истинной величины отрезка АВ (рисунок 25). В заданной системе плоскостей проекции V/H отрезок занимает общее положение.

Заменим плоскость проекций V новой плоскостью V₁, параллельной заданному отрезку АВ. Новая ось проекций х₁ при этом, очевидно, должна быть параллельна горизонтальной проекции ab отрезка. Для нахождения новой фронтальной проекции отрезка построены новые фронтальные проекции его концов (точек А и В) в системе V₁/H. Новая фронтальная проекция а'₁b'₁ отрезка – истинная величина отрезка АВ. Кроме истинной величины отрезка получаем натуральную величину угла наклона отрезка АВ к плоскости проекций Н – это угол , образованный истинной величиной отрезка АВ и осью х₁.

На рисунке 26 эта же задача решена путем замены плоскости проекций H новой плоскостью H₁. В этом случае новая ось должна быть расположена параллельно а'b'. Новая горизонтальная проекция (а₁b₁) отрезка – его истинная величина. Кроме истинной величины отрезка получаем натуральную величину угла наклона отрезка АВ к плоскости проекций V – это угол , образованный истинной величиной отрезка АВ и осью х₁.

Рисунок 25 – Определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона его к плоскости проекций Н

Рисунок 26 – Определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона его к плоскости проекций V

Чтобы прямую общего положения АВ преобразовать в проецирующую (а₄b₄), необходимо произвести две последовательные замены плоскостей проекций. С помощью первой замены плоскости V на плоскость V₁ преобразовать прямую общего положения АВ в прямую уровня а₃b₃. С помощью второй замены плоскости H на плоскость H₁ преобразовать прямую уровня а₃b₃ в прямую проецирующую (а₄b₄) (рисунок 27).

Рисунок 27 – Преобразование отрезка общего положения АВ

в проецирующую прямую

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость. Заменим плоскость проекций V на плоскость проекций V₁ (рисунок 28а). Плоскость проекций V₁ выберем перпендикулярно плоскости треугольника АВС – новая ось проекций x₁ должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости h₁ треугольника АВС. Переносим на новую фронтальную плоскость проекций V₁ расстояния от а₂, в₂, с₂ до оси Х. На новую фронтальную плоскость проекций треугольник проецируется в виде прямой линии c₃a₃b₃. Угол a – натуральная величина угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций H.

а б

Рисунок 28 – Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость, определение угла наклона плоскости АВС к плоскостям проекций H и V

При определении угла наклона к фронтальной плоскости проекций заменим плоскость проекций H на плоскость проекций H₁ (рисунок 28б). Плоскость проекций H₁ выберем перпендикулярно плоскости треугольника АВС – новая ось проекций x₁ должна быть перпендикулярна фронтальной проекции фронтали треугольника АВС – f₂. Переносим на новую горизонтальную плоскость проекций H₁ расстояния от горизонтальных проекций точек плоскости треугольника ‑ a₁b₁c₁ до оси Х. На новую фронтальную плоскость проекций треугольник проецируется в виде прямой линии c₃a₃b₃. Угол  – натуральная величина угла наклона плоскости АВС к фронтальной плоскости проекций V.

Чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо произвести две последовательные замены плоскостей проекций. С помощью первой замены плоскости V на плоскость V₁ преобразовывают плоскость общего положения ABC в проецирующую плоскость a₃b₃c₃, с помощью второй замены плоскости H на плоскость H₁ преобразовывают проецирующую плоскость a₃b₃c₃ в плоскость уровня а₄b₄с₄ (рисунок 29).

Рисунок 29 – Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня, определение истинной величины плоскости треугольника АВС