- •Министерство образования и науки рф Бийский технологический институт (филиал)
- •Г.И. Куничан, л.И. Идт, о.Р. Светлова, т.Н. Смирнова Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины «Начертательная геометрия»
- •Содержание
- •Тема 1 «Метод прямоугольного треугольника»
- •1.1 Теория к выполнению индивидуального задания «Определение угла наклона прямой общего положения к плоскостям проекций. Истинная величина отрезка»
- •1.2 Оформление задачи на формате
- •Тема 2 «Прямые и точки, принадлежащие плоскости»
- •2.1 Теория к выполнению индивидуального задания по теме «Принадлежность прямой и точки плоскости»
- •2.2 Пример оформления задач 2.1 и 2.2
- •Тема 3 «Пересечение прямых и плоскостей»
- •3.1 Теория к выполнению индивидуального задания «Построение прямой, пересекающей плоскость общего положения»
- •И фронтально конкурирующие (б) точки
- •3.2 Пересекающиеся плоскости
- •С плоскостью общего положения
- •Тема 4 «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
- •4.1 Теория к выполнению индивидуального задания
- •4.2 Примеры выполнения задач по теме 4
- •4.2.1 Определение расстояний от точки до плоскости
- •4.2.2 Определение расстояний от точки до прямой
- •Тема 5 «Преобразование чертежа методом замены плоскостей проекций»
- •5.1 Теория к выполнению индивидуального задания
- •5.2 Решение задач по теме 5
- •Тема 6 «Преобразование чертежа методами вращения»
- •6.1 Теория к выполнению индивидуального задания. Четыре основные задачи
- •6.1.1 Первая задача: преобразование прямой общего положения в прямую уровня
- •6.1.2 Вторая задача: преобразование прямой уровня в проецирующую прямую
- •6.1.3 Третья задача: преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость
- •6.1.4 Четвертая задача: преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня
- •6.2 Применение методов вращения для решения задач
- •Тема 7 «Сечение многогранников плоскостями общего и частного положения»
- •7.1 Теория к выполнению индивидуального задания «Пересечение многогранников плоскостью»
- •7.1.1 Сечение прямой призмы
- •7.1.2 Сечение пирамиды
- •7.1.3 Теория для построения развертки боковой поверхности пирамиды
- •7.2 Сечение многогранников плоскостями общего положения
- •Тема 8 «Сечение поверхностей вращения плоскостями общего и частного положения»
- •8.1 Теория к выполнению индивидуального задания «Пересечение тел вращения плоскостью»
- •8.1.1 Развертка цилиндра
- •8.1.2 Сечение прямого кругового цилиндра плоскостью общего положения
- •8.1.3 Сечение прямого кругового конуса плоскостями частного положения
- •8.1.4 Построение развертки прямого конуса
- •8.1.5 Сечение прямого кругового конуса плоскостями общего положения
- •Общего положения
- •Тема 9 «Пересечение прямой с поверхностью»
- •9.1 Теория к выполнению индивидуального задания
- •Тема 10 «Построение трех проекций тела с вырезом»
- •Тема 11 «Эпюр № 3. Пересечение поверхностей»
- •11.1 Способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения
- •11.2 Способ вспомогательных концентрических сфер
- •Приложение а
- •Литература
Общего положения
Тема 9 «Пересечение прямой с поверхностью»
Задачи по теме 9 выдаются на десятой неделе, после практического занятия 14 и лекции 7 [1, 2, 10].
Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:
а) пересечение прямых общего и частного положения с поверхностями. Общий способ нахождения точек входа и выхода;
б) частные случаи пересечения прямой с конусом, наклонным цилиндром и сферой.
9.1 Теория к выполнению индивидуального задания
Для нахождения точки встречи прямой линии с поверхностью в общем случае производятся построения, аналогичные построениям, выполняемым при нахождении точки встречи прямой с плоскостью, с небольшой разницей. Эти построения состоят в следующем: через заданную прямую проводят удачно выбранную вспомогательную плоскость, которая пересекала бы поверхность по элементарным линиям (прямая или окружность), строят линию пересечения этой плоскости с поверхностью и в пересечении соответствующей проекции этой линии с проекцией прямой отмечают искомые точки.
В тех случаях, когда ребра или образующие данной поверхности перпендикулярны к одной из плоскостей проекций или сама прямая перпендикулярна к какой-либо из них, точки пересечения находятся без дополнительных построений.
Рассмотрим несколько конкретных случаев (рисунки 58, 59).
Рисунок 58 – Пересечение Рисунок 59 – Пересечение
прямой с призмой прямой с цилиндром
На рисунке 58 грани призмы перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций П1, т.е. призма прямая, поэтому точки входа и выхода прямой АВ видим без дополнительного построения. Это точки М и N.
На рисунке 59 цилиндр является прямым круговым и точки встречи М и N прямой АВ с цилиндром видно из чертежа.
В случаях, когда ребра или образующие поверхности не являются проецирующими и сама прямая есть прямая общего положения, для нахождения точек входа и выхода через прямую АВ проводят проецирующую плоскость Q, которая при пересечении призмы или пирамиды (рисунок 60) образует треугольник (1, 2, 3). На второй проекции пересечения прямой АВ с фигурой плоского сечения находят проекции искомых точек М и N.
Рисунок 60 – Пересечение прямой с пирамидой
Нахождение точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра общего положения рассмотрено в методических рекомендациях [10].
При выборе вспомогательной секущей плоскости в примере на рисунке 61 нужно, чтобы плоскость пересекла конус по образующим. Такой плоскостью будет плоскость общего положения, заданная прямой АВ и точкой S. Секущая плоскость, проходящая через вершину конуса, пересечет его по двум образующим.
Пересечение секущей плоскости с плоскостью основания конуса определят точки 1 и 2. Через эти точки и пройдут образующие, по которым пересечется конус с плоскостью. Секущую плоскость зададим двумя пересекающими прямыми АВхСS. Точку С на прямой АВ принимаем из условия удобного построения линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания конуса. Это прямая МN. Прямая МN пересечет основание конуса в точках 1 и 2 – это будут основания образующих S-1 и S-2, по которым пересечется конус с плоскостью. Точки входа и выхода К и Е – это точки пересечения образующих S-1 и S-2 с прямой АВ.
Рисунок 61 – Пересечение прямой с конусом
Если прямая АВ общего положения, не проходящая через центр сферы, пересекает сферу, то задачу можно решить с применением преобразования – параллельным перемещением (рисунок 62). Для этого прямую АВ преобразуем в прямую уровня (горизонталь). Проведя через прямую горизонтальную плоскость Q, которая пересечет сферу по окружности, построим на горизонтальной проекции эту окружность и точки ее пересечения с прямой АВ. Эти точки К и Е – искомые точки.
Рисунок 62 – Пересечение прямой со сферой