- •1.(30) Основные понятия мЛиТа
- •2. История развития теории алгоритмов.
- •3. Роль алгоритма в науке и технике.
- •4. Понятие алгоритма.
- •5. Алгоритмический процесс.
- •6. Основные вопросы теории алгоритмов.
- •7. Классификация алгоритмов.
- •8. Свойства алгоритмов.
- •9. Понятие предиката
- •10. Интерпретация. Модель
- •12. Нормальные алгорифмы Маркова.
- •13. Гипотеза Черча.
- •14. Машина Тьюринга.
- •15. Рекурсивные функции.
- •2) Тождественные функции любого числа независимых
- •16. Алгоритмически неразрешимые проблемы
- •17. Понятие о сложности
- •18. Временная и вычислительная сложность алгоритмов.
- •19. Понятие р- и np-задач.
- •21. Темпоральные логики. Нечеткая и модальные логики.
- •22. Примеры задач np-класса.
- •24. Дедуктивные теории
- •25. Свойства дедуктивных теорий
- •26. Формальные аксиоматические теории
- •27. Свойства выводимости
- •31.(38) Логические функции
- •34. Кванторы
- •39. Алгоритм Сортировка слиянием.
- •40. Алгоритм Пузырьковая сортировка.
- •41. Алгоритм Сортировка вставками.
- •42. Алгоритм Сортировка Шейкером.
- •43. Алгоритм Быстрая сортировка.
- •44. Алгоритм Сортировка подсчетом.
- •47. Логика высказываний.
- •48. Булева алгебра и основные логические тождества.
- •49. Пропозициональные буквы, связки и формы (формулы логики
- •50. Исчисление высказываний (теория l)
50. Исчисление высказываний (теория l)
В качестве первого примера формальной аксиоматической теории
рассмотрим исчисление высказываний - теорию L.
1. Символами теории L являются ¬(Только перевернутое),⇒,),( и буквы Аi с
целыми положительными числами в качестве индексов: А1,А2,А3,... Символы
,⇒ будем называть примитивными связками, а А1,А2, А3,... -
пропозициональными буквами.
2. Формулы теории L определим индуктивным образом:
1) все буквы А1,А2,А3,... суть формулы;
2) если А и В формулы, то (А) и (А⇒В) тоже формулы;
3) выражение теории L является формулой только тогда, когда это следует из
1) и 2).
Будем считать, что
А&В служит обозначением для формулы ((А⇒(В))),
А∨В служит обозначением для формулы ((А)⇒В),
А≡В служит обозначением для формулы (((А⇒В)⇒((В⇒А)))).
Из определения формул видно, что всякая формула из L есть
пропозициональная форма, построенная из пропозициональных букв А1,А2... с
помощью связок и ⇒.
Будем придерживаться тех же правил опускания скобок в формулах, что и
раньше для пропозициональных форм.
3. Аксиомы теории L. Каковы бы ни были формулы А, В и С теории L,
следующие формулы суть аксиомы теории L:
А1: А⇒(B⇒А);
A2: (А⇒(B⇒C))⇒((А⇒B)⇒(А⇒C));
A3: ( B⇒ А)⇒(( B⇒А)⇒B).
Заметим, что А1 - А3 являются схемами аксиом, т.е. указывают, как строятся
аксиомы для произвольных формул А, В и С. В силу произвольности фор-мул
А, В и С схемы аксиом А1-А3 порождают бесчисленное множество аксиом.
Легко убедиться, например, с помощью таблиц истинности, что каждая аксио-
ма полученная по схемам А1-А3 является тавтологией.
4. Единственным правилом вывода теории L служит правило modus ponens: В
есть непосредственное следствие А и А⇒В. Это правило сокращенно
обозначают МР.
Modus ponens в переводе означает «правило отделения». Отметим, что
теорема 1.1 утверждает, что если А и А⇒В тавтологии, то и В тоже
тавтология. Следовательно, правило modus ponens из тавтологий получает
тавтологию. Очевидно, правило МР означает, что А,А⇒В−В.
Таким образом, задали некоторую формальную аксиоматическую теорию,
которая и называется исчислением высказываний. Рассмотрим некоторые до-
казательства в этой теории.
61
1.(30) Основные понятия МЛиТА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. История развития теории алгоритмов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Роль алгоритма в науке и технике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4. Понятие алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5. Алгоритмический процесс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6. Основные вопросы теории алгоритмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7. Классификация алгоритмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8. Свойства алгоритмов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9. Понятие предиката . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
10. Интерпретация. Модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
12. Нормальные алгорифмы Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13. Гипотеза Черча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14. Машина Тьюринга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15. Рекурсивные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16. Алгоритмически неразрешимые проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
17. Понятие о сложности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18. Временная и вычислительная сложность алгоритмов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
19. Понятие Р- и NP-задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
20. NP-трудные и NP-полные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
21. Темпоральные логики. Нечеткая и модальные логики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Модальные логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
24. Дедуктивные теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
25. Свойства дедуктивных теорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
26. Формальные аксиоматические теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
27. Свойства выводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
31.(38) логические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
34. Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
39. Алгоритм Сортировка слиянием. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
40. Алгоритм Пузырьковая сортировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
41. Алгоритм Сортировка вставками. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
42. Алгоритм Сортировка Шейкером. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
43. Алгоритм Быстрая сортировка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
47. Логика высказываний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
48. Булева алгебра и основные логические тождества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Основные тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
49. Пропозициональные буквы, связки и формы (формулы логики высказываний). Построение
таблиц истинности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
50. Исчисление высказываний (теория L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
62__