3 Матрица билинейной формы.
Мы определили билинейную форму аксиоматически. Выберем теперь в -мерном пространстве какой-либо базис и выразим билинейную форму через координаты и векторов и в этом базисе. Мы имеем:
В силу свойств 1 и 2 билинейной формы
или, короче
Обозначим постоянные через . Тогда имеем:
при заданном базисе всякая билинейная форма в -мерном пространстве может быть записана в виде
|
(3) |
где -- координаты вектора , а -- координаты вектора в данном базисе. Числа зависят от выбора базиса и вычисляются по формулам
|
(4) |
Матрица называется матрицей билинейной формы в базисе .
Таким образом, в каждом базисе билинейная форма определяется своей матрицей .
Пример 3 Пусть -- трехмерное пространство, векторами которого являются тройки чисел . Зададим в билинейную форму формулой
Возьмем в в качестве базиса три вектора
Найдем матрицу билинейной формы в этом базисе. В силу (4) получим:
т.е.
Таким образом, если обозначить через ) и координаты векторов и в базисе , то
4 Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.
Пусть даны в -мерном пространстве два базиса: и . Пусть векторы выражаются через векторы базиса формулами
|
Таким образом, -- координаты вектора в базисе . Матрицу
назовем матрицей перехода от базиса к базису .
Пусть есть матрица билинейной формы в базисе , а -- матрица той же билинейной формы в базисе . Наша задача состоит в том, чтобы по матрице найти матрицу .
По определению [формула (4)] , т.е. -- значение билинейной формы при , ; для того чтобы найти его, воспользуемся формулой (3), подставив в нее вместо и координаты векторов и в базисе , т.е. числа и . Получим:
|
(6) |
Это есть искомая формула.
Запишем ее в матричной форме. Для этого положим ; таким образом, являются элементами матрицы , транспонированной к матрице . Тогда
В матричной форме это означает 2.13:
|
(7) |
Итак: если и суть матрицы билинейной формы соответственно в базисах и , то , где -- матрица перехода от базиса к базису , а -- матрица, транспонированная к матрице .
5 Квадратичные формы.
Определение 4.4 Пусть -- симметрическая билинейная форма. Функция , которая получается из , если положить , называется квадратичной формой.
называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме .
Требование симметричности формы в определении квадратичной формы оправдывается следующим предложением, которое без этого было бы неверно.
Полярная форма однозначно определяется своей квадратичной формой .
Доказательство. Из определения билинейной формы легко следует, что
Отсюда в силу симметрии (т.е. равенства ) получаем:
В правой части этого равенства стоят значения квадратичной формы; следовательно, мы доказали, что билинейная форма определяется своей квадратичной формой 2.14.
Выше мы уже доказали, что всякая симметрическая билинейная форма записывается через координаты векторов и в виде
где . Поэтому:
всякая квадратичная форма при заданном базисе выражается формулой
где . Введем еще одно важное
Определение 4.5 Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого вектора
Пример 4 является, очевидно, положительно определенной квадратичной формой.
Пусть -- положительно определенная квадратичная форма и -- ее полярная форма. В силу сформулированных выше определений это означает:
1 .
2 .
3 .
4 и при .
Мы видим, что эти условия совпадают с аксиомами скалярного произведения, сформулированными в 2. Следовательно, скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение.
Поэтому мы можем определить евклидово пространство следующим образом.
Евклидовым пространством называется аффинное пространство, в котором выбрана какая-нибудь фиксированная положительно определенная квадратичная форма . Значение соответствующей 2.15ей билинейной формы считается при этом скалярным произведением2.16векторов и .