32.Правило Лоиталя.Теорема.

Теорема: пусть ф-ии f(x) и g(x) удовлетворяют всем условиям т. Коши в окрестности x0 и при x→x₀ предел f(x)=

Тогда если отношение их производных имеет предел то и отношение ф-ий имеет предел равный пределу отношения производных

Док-во

Рассмотрим отношения

Применим к правой части теорему Коши, предполагая что f’(x) и g’(x) существуют в окрестностях точки x₀ и g’(x) отлично от нуля во всех точках x (g’(x)≠0)

x₀<ξ<x

x→x₀=>ξ→x₀

Т.к. по условиям теоремы существует предел отношения производных и он не зависит от обозначения переменных, а зависит только от предельного аргумента, его величины, когда ξ→x₀ тогда =>

• 

33.Возрастание и убыв ф-ии.

Говорят, что ф-ия f(x) возрастает в промежутке (a;b) если для любых 2-х точек x₁ и x₂ є (a;b) если x₂>x₁ то и f(x₂)>f(x₁) т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение ф-ии. Аналогично ф-ия убывает на некотором промежутке если меньшему значению аргумента соответствует большее значение ф-ии.

Теорема 1 (необходимое условие убыв и возраст ф-ии)

1. если дифференцируемая ф-ия возрастает в некотором промежутке то ее производная не отрицательна в этом промежутке

2. если дифференцируемая ф-ия f(x) убывает в некотором промежутке то ее производная не положительна в этом промежутке

док-во. Докажем первую часть теоремы.

F’(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx {Δx→0)

Возьмем значения x и (x+Δx) є (a;b) тогда в силу возрастания ф-ии знак приращения Δf будет одинаков одинаков со знаком Δx => [f(x+Δx)-f(x)]/Δx>0 поэтому переходя к пределу при Δx→0 и учитывая что предел положительной величины неотрицательный f’(x)≥0 получаем утверждение теоремы.

Часть 2 док-ть сам-но

Замечание: известно что геометрический смысл производной состоит в том, что производная в данной точке есть tg угла наклона касательной к кривой этой точки с осью абсцисс, поэтому геометрически утверждение теоремы сводится к тому, что для возрастания дифференцируемой ф-ии касательные образуют с положительным направлением оси OX острые углы соответственно для графика убывания ф-ии все касательные образуют тупые углы с осью OX.

Теорема 2 (достаточное условие возраст и убыв ф-ии)

1. если производная дифференцируемой ф-ии положительна в некотором промежутке то ф-ия возрастает в этом промежутке

2. если производная дифференцируемой ф-ии отрицательна в некотором промежутке то ф-ия убывает в этом промежутке

док-во.

Пусть производная f’(x)>0 для любой точки x є (a;b) ( є(a;b)). Возьмем любые 2 точки x₁ и x₂ є (a;b) x₂>x₁ и запишем формулу Лагранжа f(x₂)-f(x₁)=(x₂-x₁)*f’(ξ), x₁<ξ<x₂ поскольку x₂>x₁ то разность x₂-x₁>0 кроме того f’(ξ)>o=> x₂-x₁ и поэтому f(x₂)>f(x₁), когда x₂>x₁, f(x₂)-f(x₁)>0 => f(x₂)>f(x₁) т.е. ф-ия возрастает.

Вторая часть док-ть сам-но

34.Экстремумы ф-ии. Теорема3.

Говорят, что ф-ия f(x) имеет в точке x₁ максимум f(x₁) если f(x₁) есть наибольшее значение ф-ии f(x) в некоторой двусторонней окрестности точки x₁, f(x₁)>f(x), xє(x₁-ξ; x₁+ξ). Точка x₂ называется точкой минимума ф-ии f(x) если f(x₂) есть наименьшее значение в некоторой двусторонней окрестности точки x₂

F(x₂)<f(x), xє(x₁-δ;x₂+δ)

Точки максимума и минимума ф-ии называются точками экстремума, а значения ф-ии f(x) в этих точках соответственно максимумом и минимумом этой ф-ии.

Замечание: всюду в дальнейшем будем предполагать что для данной ф-ии f(x) имеющей экстремум f(x)-f(x₀)

Теорема 3.

Если в точке x₀ дифференцируемая ф-ия достигает экстремума то ее производная в этой точке либо = 0 либо не существует.

Док-во.

Если в точке x₀ достигается экстремум пусть для определенности максимум то значение ф-ии в этой точке яв-ся наибольшим значением ф-ии в окрестности точки x₀ тогда по т. Ферма производная ф-ии дифференцируемой в этой точке равна нулю.

С геометрической точки зрения данное утверждение означает, что касательная к ф-ии в его вершине параллельна оси.

Ф-ия может иметь экстремум и в тех отдельных точках в которых она не имеет производной.

Те значения аргумента для которых производная равна нулю или не существует называется критическими точками.