47. Приближенное вычисление определенных интервалов

1. Метод прямоугольников

Поскольку мы показали ранее что представляет собой Sкрив трап и является продолжением площади ступенчатой фигуры, естественно ввести формулу приближенного вычисления как формулу вычисления площади ступенчатой фигуры.

Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей точками

a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b

длина каждой части

выберем на каждом отрезке разбиения ξ_i

x_i<ξ_i<_xi-1

сумму площадей всех прямоугольников примем за Sкрив трап

(1)

Формула прямоугольников

С ростом n точность формулы возрастает, и при достаточно большом n можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью

2. Формула трапеций

Геометрическое соображение подсказывает вывод иной приближенной формулы если прямоугольники заменить прямоугольными трапециями

Для этого точки x, y соединяют отрезками ломанной и вместо исходной криволинейной трапеции рассматривают фигуру из прямоугольных трапеций

; ;

(2)

3. Формула Симпсона

(3)

Отрезок [a;b] разбивается на 2m четное количество отрезков, с боков отрезков параболы

48. Несобственные интегралы.

1. Несобственный интеграл I рода.

Пусть ф-ия f(x) определена и непрерывна на бесконечном промежутке [a;+∞)

Если F(∞) конечная величина, то интеграл от a до ∞ называется сходящимся, в противном случае расходящимся

2. Несобственный интеграл 2-го рода

Пусть ф-ия f(x) определена и непрерывна в промежутке [a;b] всюду за исключением точки B где она имеет разрыв, тогда несобственным интегралом 2-го рода называется ,

Если предел конечен то интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся

49. Разложение многочлена по формуле Тейлора.

Пусть дан многочлен P(x) определенный на xЄ[a;b], x₀Є[a;b]. Необходимо многочлен P(x) представить по формуле

(1)

Положим в (1) x=x₀, тогда P(x₀)=a₀

Продифференцируем P(x)

(2)

Положим в (2) x=x₀, тогда P(x₀)=a₁

Найдем производную второго порядка от P(x)

(3)

Положим в (3) x=x₀, тогда P’’(x₀)=2a₂

(4)

Пусть в (4) x=x₀, тогда P’’’(x₀)=3*2*a₃

Продолжая этот процесс можно получить

(5)

Формула Тейлора (5)

Разложение по формуле Тейлора

Пусть ф-ия f(x) определена в промежутке [a;b] и имеет в этом промежутке производные до порядка n включительно. Пусть точка x₀ Є [a;b]. Построим многочлен n-ого порядка по ф-ии f(x)

(6)

Многочлен P_n(x) совпадает со значением ф-ии f(x) и ее производными до порядка n включительно в точке x₀. Будем считать что многочлен P_n(x) опроксимирует ф-ию f(x) т.е. , где R_n(x) – остаточный член. Покажем что R_n(x) есть бесконечно малое более высокого порядка чем (x-x₀)ⁿ. Это значит что нужно доказать

Рассмотрим предел

Для вычисления предела вместо x подставим x₀. Получим неопределенность и значит можно применить правило Лопиталя

При подстановке x вместо x0 опять получим определенность . Применим правило Лопиталя n-ое количество раз

И значит можно представить

(8)

Формула (8) называется формулой Тейлора

Если x=0 Є [a;b] то

(9)

Формула (9) – формула Маклорена

Разложение ф-ий e^x, sinx, cosx по формуле Маклорена

1. 

Значит

Используют для приближенного вычисления значений ф-ии в заданной точке

-1

0

y(0)=1

(0)

(-1)

(0)

(1)

50. Ф-ии многих переменных. Основные понятия и определения.

В естествознании часто приходится иметь дело с 2,3 и большим числом переменных. Например , . Пусть в плоскости XOY задана некоторая область точки D в которой точка x₁ y₁. Поставим в соответствии некоторому закону в пространстве точку z₁. Точки x₂, y₂ по тому же закону точку z₂

тогда говорят что задана ф-ия 2-х переменных z=f(x,y). Область D называется областью определения ф-ии 2-х переменных z=f(x,y). Геометрически ф-ия z=f(x,y) есть поверхность в пространстве OXYZ. (дельта окрестностью точки x₀ y₀) называется прямоугольник R точки которого удовлетворяют:

Говорят что ф-ия z=f(x,y) имеет предел если модуль разности как только (x,y) Є

Дадим x приращение ∆x, а y приращение ∆y, тогда - называется полным приращением ф-ии f(x,y)

Непрерывность ф-ий 2-х переменных.

Ф-ия f(x,y) называется непрерывной в точке (x,y) если:

1. Ф-ия f(x,y) определена в точке (x,y)

2. Бесконечно малое приращение аргументов соответствует бесконечно малому приращению ф-ии т.е.

Частные производные

Дадим x приращение ∆x оставив y без изменения, тогда разность называется частным приращением ф-ии z по x и наоборот (c, y)

Предел отношений называется частной производной ф-ии z по x. Аналогично по y.

Из всего вышесказанного следует что отыскание частной производной по x сводится к обычному дифференцированию по x если все переменные кроме x считаются постоянными. Аналогично при дифференциации по y.

Поэтому для частного дифференциала не требуется никаких новых формул. Например

Полный дифференциал ф-ий 2-х переменных.

z=f(x,y) – пусть ее полное приращение

(10)

∆z представляет собой разность значений ф-ий в точке P₁ и P. Расстояние между этими точками определяется по формуле

Если g→0 можно подобрать такие const A и B что сумма (3) отлична от полного приращения ∆z на бесконечно малое более высокого порядка чем g, то (3) называется главной линейной частью полного приращения ф-ии, тогда ∆z можно представить в виде (4)

(4)

Из ∆PP₁C можно найти

Тогда (5)

Учитывая (5) можно

Обозначим ,

(6)

Определение.

Полным дифференциалом ф-ии 2-х независимых переменных называется главная часть полного приращения ф-ии линейная относительно приращений независимых переменных

(7)

Теорема 1

Полный дифференциал ф-ии 2-х независимых переменных равен сумме произведений частных производных ф-ий на дифференциалы соответствующих независимых переменных

Док-во.

Положим в , ∆y=0 тогда получим из полного частного приращения ф-ии по x

(8)

Разделим (8) на ∆x и перейдем к пределу, когда ∆x→0

(9)

, α→0, ∆x→0

Аналогично ∆x=0

(15)

(16)

, , ,

(17)

(17) – формула полного дифференциала

Замечание

Если то

В случае ф-ии 1 независимой переменной существование у ф-ии дифференциала оказалось эквивалентным наличию у этой ф-ии производной. Для случая 2 независимых переменных существование у ф-ии частных производных еще не обеспечивает наличие у этой ф-ии дифференциала, т.е. дифференцируемости. Однако, если помимо существования частных производных добавить еще требование их непрерывности, то из этих требований уже будет вытекать дифференцируемость ф-ии.

Теорема 2.

Если ф-ия имеет в точке P(x,y) прерыв частные производные то в этой точке ф-ия дифференцируема

Частные производные высших порядков

Допустим, что ф-ия имеет частные производные которые в свою очередь являются ф-ями независимых переменных x, y. частные производные от этих частных производных называются частными производными 2-го порядка или 2-ми частными производными ф-ии f(x,y)

Последнее произведение называется смешанным произведением

Рассмотрим ф-ию . Найдем производные

Следует отметить что в рассмотренном примере смешанные производные тождественно равны. Это не случайно. Справедливо следующее утверждение

Теорема 1

Если 2 смешанные производные ф-ии непрерывны, то они равны между собой.

Требование непрерывности смешанных производных является существенным при его отсутствии теорема может не выполняться

Частные производные от частных производных 2-го порядка называются частными производными 3-го порядка и т.д. при этом результат теоремы 1 формулируется в более общем виде.

Теорема 2

Результат повторного дифференцирования ф-ии 2-х независимых переменных не зависит от порядка дифференцирования если рассматриваемые смешанные производные непрерывны.