5 Теорема3,следствие,4,5.

ТЕОРЕМА3. Если ф-ия f(х) для хс U_δ,х0 ,принимает значения f(х)≤r(непревосходящие r) и сущ-ет limf(х)=а, при х→ х₀, то limf(х)≤r, при х→ х₀ т.е а≤r

Док-во. От противного, предположив,если limf(х)<r, то f(х)>r, а у нас f(х)≤r

Следствие. Положительная ф-ия не может иметь отрицательного предела и наоборот.

ТЕОРЕМА4. Если ф-ия f(х),при х→ х₀ имеет предел,то этот предел единственный.

Док-во: от противного,предположим,что limf(х)=а, при х→ х₀, limf(х)=b, при х→ х₀, а≠ b

b>а, возьмем с ; а<с< b ; b(х) <с,хс U_{δ1, х0} ; b(х)>с,хс U_{δ2, х0} ; тогда по теореме1 сущ-ет U_{δ3, х0} ,в которой f(х)>с,δ₃ =min{δ₁ δ₂ },в более узкой U_{δ1, х0} выполняются оба неравенства,что невозможно.

ТЕОРЕМА5. ф-ия f(х),имеющая конечный предел при х→ х₀, ограничена U_δ,х0 (в некоторой окрестности)

6 Односторонние пределы. Определение предела слева и предела справа.

Для введения понятия одностороннего предела определим левую и правую окрестности точки. Левой окрестностью точки х₀ называется интервал (а, х₀), где х₀ яв-ся правым концом,где х< х₀. Правой окрестностью точки х₀ называется интервал (х₀,b), где х₀ яв-ся левым концом интервала,где х> х₀.

Запись х→ х₀-0 означ, что х принимает значения принадлежащие левой окрестности (.)х₀

Или пишут: х→ х₀-0: х→ х₀, х< х₀.

Запись х→ х₀+0 означ, что х принимает значения принадлежащие правой окрестности (.)х₀ или пишут: х→ х₀+0: х→ х₀, х→ х₀.

Ф-ия f(х) определенная на множестве Х, содержащим(.)х₀,имеет предел слева при

х→ х₀-0равный А,если для >0 такая левая окрестность х₀,который /f(х)-А/<ε, при этом пишут: lim f(х)=f(х₀-0)=А, при х→ х₀-0

Значение f(х₀) может и не совпадать со значениями f (х₀+0), f(х₀-0),но если ф-ия f(х)

имеет предел(limf(х)), при х→ х₀

в точке х₀, то f(х₀+0)= f(х₀-0)

7 Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теоремы о бесконечно малых. Теорема1.

Ф-ия α(х) называется бесконечно малой при х→ х_0, если для >0 U_δ,х0

(любого сколь угодно малого положительного ε сущ-ет такая дельта окрестность точки х_0), в которой /α(х)/ < ε, хс U_δ,х0 . Это эквивалентно записи: lim α(х)=0,при х→ х_0.

Другими словами,если α окрестность бесконечно малая.то lim α(х)=0,при х→0.Верно и обратное.

Замечание. Если lim f(х)=А,при х→ х₀ ,то это означает, что /f(х)-А/< ε ,хс U_δ,х0

1.А это означает, что f(х)-А= α(х) ,хс U_δ,х0эта разность б.м.

2.Это означает,что f(х)=А+ α(х) ,хс U_δ,х0

Если выполняется 1. ,то выполняется и 2. и наоборот.

f(х)-А=б.м. = > f(х)-А< ε,хс U_δ,х0 <= > lim α(х)=А,при х→ х₀ . 1/б.м.=б.б.

ТЕОРЕМА1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых ф-ий при х→ х₀ есть ф-ия б.м. при х→ х₀

Док-во:

α(х) ,β(х),γ(х),}б.м.,при х→ х₀

это означает, что /α(х)/ < ε/3 ,хс U_{δ1, х0}

/β(х)/ < ε/3,хс U_{δ2, х0}

/ γ(х) /< ε/3,хс U_{δ3, х0}

Возьмем δ₄ =min {δ_1,δ₂,δ₃ }

φ(х)= α(х) +β(х)-γ(х)

φ(х)= α(х) +β(х)-γ(х)≤ α(х) +β(х)+γ(х) < ε/3+ ε/3+ ε/3, хсδ₄,х₀

φ(х) < ε, хсδ₄,х₀

Это означает,что lim φ(х)=0,при х→ х₀

α(х) +β(х)-γ(х)=б.м.,при х→ х₀