Геометрические тела

Введение

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, которые называются геометрическими телами.

Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Наглядно геометрическое тело надо представлять себе как часть пространства, занятую материей (глина, дерево, металл, ...) и ограниченную поверхностью.

Все геометрические тела делятся на многогранники и круглые тела.

Многогранники

Многогранник – это геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Гранями многогранника, называются многоугольники, составляющие его поверхность.

Ребрами многогранника, называются стороны граней многогранника.

Вершинами многогранника, называются вершины граней многогранника.

Многогранники делятся на выпуклые и невыпуклые.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от любой его грани.

Задание. Укажите грани, ребра и вершины куба изображенного на рисунке.

Выпуклые многогранники делятся на призмы и пирамиды.

Призма

Призма – это многогранник, у которого две грани равные и параллельные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы.

Два n-угольника называются основаниями призмы, параллелограммы – боковыми гранями. Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призмы, концы ребер называются вершинами призмы. Боковыми ребрами называются ребра, не принадлежащие основаниям.

Многоугольники А₁А₂…А_n и B₁B₂…B_n – основания призмы.

Параллелограммы А₁А₂ B₂B₁, … − боковые грани.

Свойства призмы:

• Основания призмы равны и параллельны.

• Боковые ребра призмы равны и параллельны.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания.

Призма называется 3-угольной, 4-угольной, …, n-угольной, если ее основания 3-угольники, 4-угольники, …, n-угольники.

Прямой призмой называется призма, у кото­рой боковые ребра перпендикулярны основаниям. Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Наклонной призмой называется призма, не являющаяся прямой. Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами.

Правильной призмой называется прямая призма, у которой в основаниях лежат правиль­ные многоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

S_полн = S_бок + 2·S_осн

Изображение призмы

Изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин этого многоугольника проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

Обозначают:

ABCDA1B1C1D1 − прямая четырехугольная призма

MNPM1N1P1 − наклонная треугольная призма

Задача

1. В прямой треугольной призме основание прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Параллелепипед. Куб

Параллелепипед  это четырехугольная призма, основания которой являются параллелограммами. Паралле­лепипед имеет шесть граней, каждая из которых является параллелограммом. Отрезки, соединяющие вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями параллелепипеда.

Свойства параллелепипеда:

• Противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

• Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники. Все грани прямоугольного параллелепипеда  прямоугольники.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются линейными размерами или измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Задачи:

1. У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м², 2 м² и 3 м². Чему равна полная поверхность параллелепипеда.

2. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.