10.Уравнения в курсе математики и методика их изучения.

Существуют различные определения понятия уравнения. Рассмотрим следующее: уравнением называется равенство, содержащее неизвестное число. Значение неизвестного, при котором равенство становится верным, называют корнем уравнения. Решить уравнение, значит найти все его корни.

Роль ур-й: 1. Решение задач; 2. Объект изучения мат-ки; 3. Как формула. Уровни изучения: 1. Пропедевтический (1 – 4 кл); 2. Более продвинутый (5-6 кл.) 3. Систематическое изучение(7 кл.). Сущ-т 2 подхода к опред-ю урав-я: 1. Функциональный на общей обл-ти F пересекает G опред-я; 2. Алгебраический : Рав-во двух алгебраич-х выраж-й А(х) = В(х).

Понятие об уравнении даётся в 5 классе. Линейные уравнения с 1 неизвестным изучается в 6-7 классе, линейные уравнения с 2 неизвестными и системы 2 линейных уравнений с 2 неизвестными в 7 классе, квадратные уравнения и рациональные уравнения в 8 классе, тригонометрические уравнения в 10 классе. Понятие о дифференциальном уравнении, показательном и логарифмическом уравнении - в 11 классе.

1. В начальных классах рассматриваются линейные уравнения вида: 7+х=10, х(17-10)=70. Неизвестное число находят подбором, затем, используя связи между результатами и компонентами арифметического действия. Определ-е ур-й, сопутствующих понятий нет (корень, решение ур-й). 1кл: 2+=5; 2кл: 2+х=5. Уч-ся д. усвоить: правила, выработать навык решения ур-й с пом-ю правил. В конце 4 кл.: 2х+5=9.

2. в 5 классе уравнения решаются также на основе зависимости между результатами и компонентами действия, при этом часто предварительно проводится упрощение выражения. Учащиеся знакомятся с применением распределительного закона умножения относительно +(-) к упрощению буквенных выражений. Выполняя такие упрощения, решают следующие уравнения: 4х+4х=424, 15а-8а=714 и т.д. также рассматриваются уравнения вида: 8,6-(х+2,75)=1,85.

3. В 6 классе при изучении отрицательных чисел рассматриваются новые примеры линейных уравнений: -х=607, -а=30,4. На основании определения модуля числа решаются уравнения |x|=9, |a|=3. новым шагом в ознакомлении учащихся с методами решения уравнений является изучение правила переноса слагаемого из 1части уравнения в другую. С помощью этого правила решаются следующие уравнения: 15у-8= - 6у+4,6 и др.

Либо в 5, либо в 6 кл. даются опред-я: ур-я, корень ур-я, решить ур-е. Вводится на задаче, наглядное пособие (рычажные весы) (Виленкин). Рычажные весы с один-й массой на чашечках нах-ся в равновесии, а математически это означает масса левой чашечки = массе правой. По условию задачи составляется уравнение. Уравнением наз-ся рав-во, содержащее букву, значение которой надо найти.

Дорофеев (6 кл.): понятие ур-я, определения не даёт. Понятие ур-я вводит на примере. Макарычев: впервые в 7 кл. буква замен-ся на переем-ю. Дает определ-е реш-я урав-я. Даётся новое понятие равносильности урав-я. Лин-е урав-я ах=b. Единств-й учебник, кот-й начинает давать задачи с парам-ми. Алимов: даётся задача, опред-е ур-й. Даётся понятие левой и правой части ур-я, корень ур-я. Нет равносильности. Обоснование правила решения ур-й он даёт на основе св-в верных числовых рав-в. Даются св-ва ур-й и алгоритмы решения ур-й.

4. В 7 классе систематизируются сведения о решении линейных уравнений, вводится понятие линейного уравнения. Линейные уравнения определяются с помощью равенства ах+b=0, где число а- коэффициент при неизвестном, b- свободный член. Решение линейного уравнения с 1 неизвестным полезно представить в виде алгоритма. Существенным шагом в 7 классе является введение понятия равносильных уравнений, а также системы 2 уравнений с 2 неизвестными.

5. Для темы квадратного уравнения, изучаемой в 8 классе характерна большая глубина изложения. Уравнение вида ах²+bх+с=0 , где а≠0, b, с-любые числа называется квадратным уравнением. В начале изучаются методы решения неполных квадратных уравнений, где 1 из коэффициентов b или с (или оба)=0. далее выводится формула корней квадратного уравнения и рассматривается теорема Виета, которая показывает зависимость между корнями и коэффициентами кв. ур-я. Владение теорией квад. ур-й позволяет учащимся решать биквадратные ур-я и уравнения вида : , при дальнейшем изучении учащиеся знакомятся с методами решения тригоном., показат. и др. видов ур-й и поэтому им полезны задания на определение способа решения ур-й. Выполнение таких заданий целесообразно проводить в 2 этапа:

1. в начале для группы ур-й указать только способ решения.

2. После этого решить ур-е.

(12) Квадратное ур-е легче всего начать с задачи: х²+10х-24=0. Виды ур-й: полные (приведённые), не полные (не привед-е). Дискриминант. Теорема Виета.

3) степенное ур-е хⁿ=а, 4) показат-е ур-е а^х=b, логарифмич-е ур-е log_ax=b, иррац-е ур-е (решать возвести в степень, заменой, графический), тригон-е ур-е.

Методы: Разложение на мн-ли, введение новой переем-й, граф-й метод. Алимов, Мордкович: Триг. ур-я: добавл-ся ещё привед-е к однородному, введение вспомог-го угла, с пом-ю универсальной подстановки. (cos, sin, tg). Триг-е ур-я – ур-я, содержащие переем-ю под знаком триг-й ф-ии, однородные триг. ур-я: ур-я, облад-е св-ми: в правой части 0, аргумент один и тот же, степени выр-ся все один-е.

Показ. ур-я: 1) приведение к одному и тому же основанию, 2) вынесение общ. мн-ля за скобки, 3) замена перем-й, логарифм-е, исп-я тождество, графич-й способ.

Логарифм. ф-я: 1) функц-но – графический, 2) логарифм-е 3) потенцирование (избавл-е от знака логарифма), 4) введение новой перем-й. (Мордкович).

Во всех уч-х уделено много вниманию решению урав-й, особенно простейших. Мордкович выд-т каждому виду отдельный параграф.

. Методика изучения дробных чисел: обыкновенные и десятичные дроби.

Программой предусматривается изучение дробных чисел в V классе, а отрицательных чисел в VI классе. К такой последователь­ности изучения этих тем готовит изучение математики в младших классах средней школы. Действительно, с дробными числами уча­щимся приходится значительно чаще встречаться в окружающей жизни, чем с отрицательными. Следует учитывать также и то, что ис­торически дробные числа появились значительно раньше отрицатель­ных и, значит, должны легче усваиваться учениками.

Дробные числа – второе расширение понятия числа. Первое к N+ {0}

Цель изуч-я дроб-х чисел: познак-ся с понятием дроби и науч-ся вып-ть действия с дроб-ми ч. и решать задачи.

Послед-ть изуч-я: Сущ-т 4 варианта расширения понятия числа: 1) Виленкин, Мордкович –понятие обыкн. дроби на пропедевт. уровне, десят. др., обыкн-е др. (систематич-е изучение), совместное изуч-е обыкнов. и десят. дробей.

2)Дорофеев, Истомина(изучение от общего к частному) – обыкн. дроби, затем как частный случай – десятич., затем совмест-е изучение. 3) Эрдниев – сразу и обыкн. и десятич. дроби изуч-ся вместе. 4) Томские учеб-ки: Десятич. дробь с повтор-м нат. чисел, а затем обыкнов-я др., совместное изуч-е.

Источники появл-я дробей: 1) Дробь как рез-т разделения целого на равные части (долями), т. е. дробь как чась целого (упражн.: сначала целое – пирог, арбуз, затем геом. фигуры) уч-ся наглядно делят объект на доли и берут одну или неск-ко их, е затем зеписать это – получ. новые числа. Дроби связ-ся с лолями предмета, а натур. ч. – с предметами. В 5 – 6 кл. нач-ся систематич-е изуч-е др-й. А в 7 – 9 кл. – алгебраич. дроби. Для записи рез-та использ-я нового ч., т. е. дроби исп-т натур. ч., т. е. появ-ся двухэтажная запись. , a – числит-ль, b – знам-ль. Если а<b – прав-я дробь, если a≥b – неправ-я. Смысл дроби: b – на сколько долей делим целое, а – сколько таких долей мы взяли. 2) Дробь как рез-т измерения величин. Дроби возникли из потребности измер-я величин. 3) Дробь как рез-т деления нат-х чисел.

Сравнение действий: 1) Дробь с один. знам-ми. (срав-ся числ-ли или с пом-ю корд-го луча.2) Дробь с раз-ми знам-ми.(привести к одному) 3) Смеш-я запись дробей(сравнение с 1).

Правило м. выводить двумя способами: 1) формальным и догматическим 2) содержательно. В уч. Никольского правила вводятся как опред-е действий . Предварительно вопросы с преобразов-м дробей и св-ми.

Основное св-во дроби: рассматр-ся в ходе практич. работы; наглядно объяснить как получ. дроби.

1)как мы получ. новые дроби из . (умножаем). 2) как от каждой новой дроби перейти к старой ? (делим) Речь идёт о равных дробях. На этом св-ве основано тождеств-е преобраз-е (сокращ-е дробей). Привести к новому знам-лю: . Привести к общему знам-лю. Привести к наим-му общ. знам-лю. К любому ли знам-люм. привести дробь? Не к любому, только знам-лю кратному данному.

План (при изучении действий): 1) смысл действия, обоснование. 2) последов-ть изуч-я. 3) правило в виде алгоритма. 4) запись на буквах. 5) запись на дробях. 6) проверка законов.

Умнож-е на натур-е ч.: действие – умнож-е. Задача: 1м - р., 5 м - ?

У множ-е дробей: Задача на выч-е площадей. дл. - , шир - м. S - ? S =

Виленкин и Дорофеев обр-т вним-е на правила – все на задчах. Истомина организ-т уч-ю деят-ть ч/з задачи(рассм. выше)

Деление: 2 правила: 1) замена умнож-м; 2) по правилу(чтобы одну дробь разд-ть на др. надо числ-ль 1 др. умн-ть на знам-ль 2 др. и зап-ть в числ-ль 2 дроби и записать в знам-ль.. Задачи:1. Какую дробь одно число состав-т от другого; 2. Нахождение дроби от числа; 3) нахождение числа от дроби. 2 способа рассуждений: - содержательный (на основе смысла дроби); - формальный (на основе сообщённого правила). Надо шире применять наглядность.

Весь путь = 160 км. Чему равна 1/8 пути?

= 160: 8 = 20 км. Чему равно 3/8 пути? 20*3=60км. (180: 9)*4 =

(23) решаемые не за 1 шаг поиска, но реш-е уже изв-но из опыта реш-я задач. Пример: задача для 5 кл. В 2-х бригадах совхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно. 1бр-да собрала по 30 ц, 2 по 26 ц с га. Продано гос-ву 5500 т с 1 уч-ка и 7000 т со второго. Остальное зерно засыпано в сем-й фонд. Сколько зерна засыпал совхоз в сем-й фонд?

Обычно анализ задачи представляет собой процесс сведения данной задачи к совокупности подзадач, довед-х до элем-х. Здесь элем-й счит-ся задача, решаемая с пом-ю не более 1 действия(т. е. элем-й сч-ся и задача, реш-е кот-й нах-ся среди данных, например: Сколько зерна продано гос-ву с 1 уч-ка?) Возможен и иной путь поиска. Построение самого процесса решения (синтез) осущ-ся послед-м решением подзадач в обр-м порядке, начиная с элем-х (1 – 2- 3- 4- 5)

С колько зерна засыпано в сем. фонд?(5)

Сколько зерна собрано Сколько зерна продано

с 2-х уч-в? (3) гос-ву? (4) ЭЛ. З.

Сколько зерна собрано Сколько зерна собрано

с 1 уч-ка? (1) ЭЛ. З. со 2 уч-ка (2) ЭЛ. З.

Поиск решения м. б. представлен в виде графа (рассм. выше)

Аналогично реш-ся задачи и на док-во.