5. Элементы теории множеств. Множества. Подмножества. Алгебраические операции над множествами
Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств.
Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и в множестве не может быть двух идентичных элементов: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}
Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества
Над множествами определены следующие операции:
объединение
(или сумма)
(обозначается как
);
разность
(обозначается как
реже
);
дополнение
(обозначается как
или
);
пересечение
(или произведение)
(обозначается как
);
симметрическая
разность
(обозначается как
реже
).
6. Диаграммы Эйлера-Венна
Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.)
7. Комбинаторика. Размещение
В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
Например,
—
это 4-элементное размещение 6-элементного
множества {1,2,3,4,5,6}.
В отличие от сочетаний, размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть совпадают как сочетания).
Количество
размещений
из n
по k,
обозначаемое
,
равно убывающему
факториалу:
Последнее выражение
имеет естественную комбинаторную
интерпретацию: каждое размещение из n
по k
однозначно соответствует некоторому
сочетанию из n
по k
и некоторой перестановке
элементов этого сочетания; число
сочетаний из n
по k
равно биномиальному
коэффициенту
,
в то время как перестановок на k
элементах ровно k!
штук.
При k=n количество размещений равно количеству перестановок порядка n:[1][2][3]
