1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются x_ij , i=1,2,...,m j=1,2,...,n — объемы перевозок от i-го поставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок:

Так как произведение C_ij*X_ij определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны:

По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид:

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из m уравнений описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью и имеет вид:

Вторая группа из n уравнений выражает требование удовлетворить запросы всех n потребителей полностью и имеет вид:

Учитывая условие неотрицательности объемов перевозок математическая модель выглядит следующим образом:

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарынм запросам потребителей, т.е.:

Такая задача называется задачей с правильным балансом, а модель задачи закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а модель задачи — открытой.

Математическая формулировка транспортной задачи такова: найти переменные задачи X=(x_ij), i=1,2,...,m; j=1,2,...,n, удовлетворяющие системе ограничений (цифра 2 на математической модели) , (3), условиям неотрицательности (4) и обеспечивающие минимум целевой функции (1)

2. Обща формулировка тз

Условие: Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах a₁, a₂, ... a_m. Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах b_1, b₂ ... b_n. Известны C_ij , i=1,2,...m; j=1,2,...n — стоимости перевозки единиц груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью, и суммарные затраты на перевозку всех грузов являются минимальными.

Исходные данные транспортной задачи записываются в виде таблицы:

Исходные данные задачи могут быть представлены в виде:

• вектора А=(a₁,a₂,...,a_m) запасов поставщиков

• вектора B=(b₁,b₂,...,b_n) запросов потребителей

• матрицы стоимостей:

3. Теорема (о ранге системы ограничений закрытой тз) и следствие из неё. Открытая тз.

Теорема 6.2. Ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен r = m+n-1. 

Доказательство. Как известно из линейной алгебры, для нахождения базиса системы векторов  необходимо составить однородную систему уравнений.

  Эту систему с помощью преобразований Жордана приводят к равносильной разрешенной; в базис включают векторы, соответствующие разрешенным неизвестным. Ранг системы векторов равен числу векторов, входящих в базис, т.е. числу разрешенных неизвестных этой системы.

Системе векторов – условий транспортной задачи A_ij , i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n соответствует однородная система уравнений, где =(0,0,…,0)^т – нулевой вектор (транспонированный).

Транспортная задача называется открытой транспортной задачей, если условие баланса нарушаются; в случае выполнения условия баланса она называется сбалансированной транспортной задачей.