mu-pad

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра сопротивления материалов

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ

ПРИ ПРОСТЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ

Уфа 2013

II. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ БАЗОВОГО УРОВНЯ

1. Определение физико-механических характеристик материала

По данным испытания образца из материала ВТ3-1 на растяжение, была получена диаграмма растяжения образца (рис. 1.1.).

Рис. 1.1. Диаграмма растяжения образца из ВТ3-1

Размеры образца до испытания – базовый диаметр d0 = 7,96 мм, базовая длина образца l0 = 90,1 мм. Диаметр образца после испытаний в зоне шейки dК = 6,65 мм.

1.1. Определение геометрических характеристик образца. Рассчитаем площадь поперечного сечения образца до

испытаний:

Рассчитаем площадь поперечного сечения образца после испытаний:

1.2. Определение характеристик пластичности материала. Обозначим характерные точки диаграммы (рис. 1.2): B – точка

соответствующая концу прямолинейного участка диаграммы, C – максимальному значению силы на диаграмме, K – точка соответствующая разрушению образца.

Рис. 1.2. Обработка диаграммы растяжения образца из ВТ3-1

Разгрузка из точки K идет параллельно начальному участку диаграммы 0B, что связанно со снятием с образца упругих

6

деформаций после разрушения. Проведем линию параллельную начальному участку 0B через точку K. Полученный отрезок представляет собой остаточное удлинение образца после разрушения

Рассчитаем площадь поперечного сечения образца после испытаний:

Внешний вид диаграммы с зоной упрочнения (BC), зоной локального упрочнения (CK), в которой происходит образование локального сужения образца, т.е. шейки и его характер разрушения дают основание заключить, что материал проявляет пластические свойства. В соответствии с полученными данными о характеристиках пластичности, материал можно отнести к пластичным, т.к. > 10%, что соответствует пластичным материалам.

1.3. Определение механических характеристик материала.

По точкам B, C и K диаграммы растяжения найдем силы

FПЦ = 42,2 кН, Fmax = 53,5 кН и FK = 48,0 кН. На диаграмме отсутствует явно выраженная площадка текучести, а значит материал

в данном состоянии не имеет физического предела текучести. Для таких материалов определяют условный предел текучести.

Определим силу, соответствующую условному пределу текучести. Условный предел текучести будем искать на уровне соответствующем 0,2% остаточной пластической деформации. Рассчитаем значение абсолютного остаточного удлинения,

Откладываем полученное значение на диаграмме и проводим линию параллельную начальному участку 0B диаграммы. Полученная точка D является силой соответствующей условному пределу текучести F0,2 = 44,2 кН.

7

Определим предел пропорциональности:

Определим условный предел текучести:

Определим временное сопротивление разрушению (предел прочности):

Определим напряжение в момент разрушения:

Определим истинное напряжение в момент разрушения:

sK FK 48,0 103 1382МПа. AK 34,73 10 6

По полученным данным строим диаграмму деформирования материала при растяжении (рис. 1.3.).

Рис. 1.3. Диаграмма деформирования при растяжении образца из ВТ3-1

8

2. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня при растяжении-сжатии

Для ступенчатого стержня (рис. 2.1.), работающего на центральное растяжение-сжатие, необходимо выполнить расчет на прочность, построив эпюру продольных сил, напряжений в долях от неизвестной площади сечения A, найти эту площадь из условия прочности и построить эпюру нормальных напряжений. Исходные расчетные данные в табл. 2.1.

Решение.

2.1. Построение расчетной схемы.

Построим расчетную схему стержня. Для этого перенесем все силы к оси стержня, зададим систему координат, обозначим буквами B, C, D и H характерные сечения стержня. Заменим заделку в сечении B, возникающей в ней реакцией ZB. Вычертим в масштабе стержень с учетом соотношения длин ступеней, а также площадей поперечного сечения (рис. 2.2.).

9

2.2. Определение неизвестных.

Определим неизвестные – в данном случае это реакция в заделке, в точке В. Составим уравнение статического равновесия:

Z 0; ZB ql1 ql2 2F 0;

ZB ql1 ql2 2F 86 0,2 86 0,5 2 11 3,8кН.

2.3. Построение эпюры продольных сил.

Стержень содержит 3 расчетных участка – BC, CD и DH. В рамках каждого из участков выберем сечения (рис. 2.2.).

Определим значение продольной силы на первом расчетном участке (0 z1 l1 ). Составим расчетную схему (рис. 2.3, а), запишем

уравнение равновесия и выразим продольную силу:Z 0; ZB qz1 N(z1) 0;

N(z1 ) ZB qz1.

Рис. 2.3. Схемы расчетных участков стержня

Определим значение продольной силы в начале и конце расчетного участка:

N(z1 0) ZB q 0 3,8 0 3,8 кН;

N(z1 l1) ZB ql1 3,8 86 0,2 21,0 кН.

Определим значение продольной силы на втором расчетном участке (0 z2 l2 ). Составим расчетную схему (рис. 2.3, б), запишем

уравнение равновесия и выразим продольную силу:Z 0; ZB ql1 qz2 N(z2 ) 0;

N(z2 ) ZB ql1 qz2.

Определим значение продольной силы в начале и конце расчетного участка:

N(z2 0) ZB ql1 q 0 3,8 86 0,2 0 21,0кН;

N(z2 l2 ) ZB ql1 ql2 3,8 86 0,2 86 0,5 22,0кН.

10

в– нормальных напряжений в долях от площади A поперечного сечения,

г– нормальных напряжений.

Поскольку стержень имеет различные размеры поперечного сечения по длине, это не позволяет установить по эпюре продольных сил, где будет опасное сечение. Для этого необходимо рассчитать нормальные напряжения, возникающие в сечениях стержня. В полной

11

2.5. Определение площади поперечного сечения A. Расчет площадей поперечного сечения ступенчатого стержня.

Материал конструкции был задан из Задачи 1 данной работы. Из анализа характеристик материала было установлено, что материал является пластичным, а следовательно одинаково сопротивляется действию растягивающих и сжимающих нагрузок.

Поэтому, с точки зрения прочности конструкции, нас интересует только наибольшее по абсолютной величине напряжение, возникающее в ней. Из сопоставления полученных в предыдущем пункте данных можно сделать вывод, что опасным является сечение C первого расчетного участка, где действуют наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения:

предел текучести материала, n – коэффициент запаса прочности (для пластичных материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 2, тогда

8882 444МПа.

Подставляя в условие прочности полученные значения, и выражая его относительно A, получим:

В соответствии с условием прочности, значение площади поперечного сечения примем равным 31,6 мм2.

Рассчитаем площади поперечного сечения каждой ступени стержня:

A1 1,5A 1,5 31,6 47,4мм2 ,

A2 2,5A 2,5 31,6 79,0мм2 ,

A3 2,0A 2,0 31,6 63,2мм2 .

Найденные значения площадей поперечного сечения обеспечивают выполнение условия прочности.

13