1. Энергия и робота
П усть частица под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. в общем случае сила может меняться во времени по модулю, например, но не элементарном перемещении её можно считать .
Действие силы на перемещении характеризуется физической величиной, равной скалярному произведению , которое называется элементарной работой силы на перемещении . Её можно ещё записать как , где — угол между и - элементарный путь проекция вектора на вектор
З
- величина алг. она и и и = 0 при .
Суммируя ( интегрируя ) по всем элементарным участкам пути от 1 к 2 найдем работу силы на данном пути.
.
Геометрический смысл этого выражения виден из рисунка — полоска; — площадь под прямой. Над осью работа положительна, под — отрицательна.
.
Найдем для примера работу некоторых центральных сил.
Р
Р
Работа сил тяжести. ; ; — приращение координаты . ; .
Работа всех этих сил не зависит от формы пути а только от положения точек 1,2. Эта особенность не всех сил. Силы трения не обладают таким свойством.
3. Средняя арифметическая скорость<v> по определению равна отношению суммы скоростей всех молекул единицы объема к числу молекул единицы объема.
Число
молекул в единице объема dnv,
скорости которых заключены в интервале
от v
до v+dv
равно nf(v)dv;
Сумма скоростей всех таких молекул
равна vnf(v)dv.
Чтобы найти сумму скоростей всех молекул,
обладающих любыми скоростям
∞ 0
∞ 0
∞ 0
<
∞ 0
< v> = 4/√π (m/ 2kT)3/2∫ v3edv = 4/√π (m/2kT)3/2∫ v2evdv
vdv = d(v2)/2, значит <v> = 4/√π (m/2kT)3/2½∫ v2ed(v2)
Введем новую переменную Z=mv2/2kT : ½∫ v2ed(v2) = ½ (2kT/m)2∫Ze-ZdZ, тогда, учитывая, что ∫Ze-ZdZ =1, получим:
<v> = 4/√π (m/2kT)3/22(kT/m)2 = √8kT/πm
Б-14
Мощность.
Волновое уравнение.
Число ударов молекул о стенку и давление газа на стенку.
1. Мощность по определению это работа, выполненная за единицу времени. Если за промежуток времени сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени т.е. скалярное произведение и .
— скорость движения точки приложения силы.
— как и работа величина алгебраическая.
Зная можно найти работу, которая совершает сила за время
.
3. Число ударов молекул о стенку
Рассмотрим находящийся в равновесии газ, заключенный в некотором сосуде. Допустим, что молекулы газа движутся только вдоль трех взаимно ┴ направлений. Это можно допустить из-за хаотичности движения молекул. Если в сосуде находится N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться N/3 молекул и половина из них - N/6 вдоль данного направления в одну сторону, а вторая половина - в другую. Следовательно, в интересующем нас направлении по нормали к данному элементу ΔS стенки сосуда движется N/6 молекул, а для единицы объема - , n – концентрация молекул.
Пусть все молекулы движутся с одинаковой средней скоростью <v>. За время Δt элемента стенки ΔS достигают все молекулы, находящиеся в параллелипипеде с площадью основания ΔS и длиной <v>Δt. Их число Δν = (n/6)ΔS<v>Δt, следовательно, число ударов о единичную площадку в единицу времени
Δν/ΔSΔt = (n/6)<v>.
Если
отказаться от допущения, что все молекулы
движутся с одинаковой скоростью v
= <v>,
то необходимо выделить в единице объема
молекулы, скорости которых лежат в
интервале от v
до v+dv.
Их число -
.
Количество ударов таких молекул,
долетающих до площадки ΔS
за время Δt
равно dνv
= (1/6)(dnvΔS
vmax 0
vmax 0
Δν = dνv = 1/6ΔSΔt vdnv = Выражение vdnvпо определению является средней скоростью молекулы, тогда Δν = 1/6ΔSΔtn<v> , т.е., получили то же самое значение числа ударов.
Давление газа на стенку сосуда
Давление по определению можно записать: , а поскольку, из второго закона Ньютона: , то . Значит, необходимо вычислить импульс , передаваемый всеми молекулами со всеми скоростями единице площади за единицу времени.
Число молекул со скоростью v из общего количества n, долетающих до площадки ΔS за время Δt равно:
dνv = (1/6)(dnvΔSvΔt)
Далее,
умножив это число на импульс, сообщаемый
каждой молекулой при ударе равный –
2mv,
получим импульс, сообщаемый площадке
ΔS
за время Δt
этими молекулами. Изменение импульса
одной молекулы равно K2-K1=
-2mv,
значит, импульс передаваемый молекулой
сте
vmax 0
vmax 0
равен v.
Импульс, передаваемый всеми молекулами со всеми скоростями:
K = (1/6)(dnvΔSvΔt)2mv = 1/3 mΔSΔt v2dnv (*)
Выражение v2dnv представляет собой среднее значение квадрата скорости молекул, тогда, заменив в (*) интеграл и, разделив это выражение на ΔS и Δt, получим давление газа на стенку сосуда:
р = 1/3mn<v2>
т.к. m<v2>/2 = <εпост> по определению, получим:
р =2/3n<εпост>
- основное уравнение молекулярно- кинетической теории. Это уравнение раскрывает физический смысл макропараметра р: давление определяется средним значением кинетической энергии поступательного движения молекул.
Б-15
Консервативные силы.
Энергия волны. Объемная плотность энергии волны.
Средняя энергия молекул с учетом вращательных и колебательных степеней свободы.
1. Консервативные силы
Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и т.д. Поле сил может быть постоянным во времени, тогда оно называется стационарным. Стационарное поле в одной системе отсчета м.б. в другой. В стационарном поле сила, действующая на частицу, зависит только от её положения в пространстве.
Р абота, которую совершает сила поля по перемещению частиц из т.1 в т.2 зависит, в общем случае от формы пути между этими точками, например при действии . Однако, имеются стационарные силовые поля, в которых работа над частицей силами поля не зависит от пути между т.1 и т.2. Силы обладающими такими свойствами называются консервативными. Это свойство можно сформулировать другим способом: силы поля являются консервативными, если работа в стационарном полена любом замкнутом пути равна =0.
К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положением частицы и не равна 0 на замкнутом пути.
3. Средняя энергия молекул
Из уравнения состояния идеального газа p=nkT и выражения для давления газа на стенку сосуда р =2/3n<εпост> следует, что
<εпост> = 3/2kT (1), откуда можно заключить, что температура есть величина, прямо пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.
Поступательно движутся молекулы газа. Молекулы твердых и жидких тел совершают колебания вблизи положений равновесия.
Из выражения (1) видно, что <εпост> зависит только от Т и не зависит от массы молекулы.
Т.к., <εпост> = <mv2/2> = m<v2>/2, то из сравнения с выражением (1), получим: <v2> = 3kT/m а средняя квадратичная скорость:
vср.кв. = √<v2> = √3kT/m .
Можно представить <v2> = <v2x>+<v2y>+<v2z> = 3<v2x>, поскольку, все направления движения молекул равноправны, т.е., <v2x> = <v2y> = <v2z>, тогда:
<v2x> = 1/3<v2> = kT/m
Формула (1) определяет энергию поступательного движения молекул. Наряду с этим движением возможны также вращение молекул и колебания атомов, входящих в состав молекул. Например, для двухатомной жесткой молекулы это вращение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс молекулы. Эти виды движения также связаны с запасом энергии молекулы. Ее полную энергию позволяет определить, устанавливаемое статистической физикой, положение о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы. Такую гипотезу впервые высказал Больцман.
Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано ее положение. Положение материальной точки определяется в пространстве значением трех координат, она имеет три степени свободы. Одноатомной молекуле следует приписывать три степени свободы, двухатомной: в зависимости от характера связи между атомами – либо три поступательных и две вращательных (жесткая связь), т.е. всего пять степеней; либо n = 3+2+1=6 с учетом колебательной степени свободы для нежесткой молекулы.
Поскольку ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед остальными, на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия 1/2kT. Согласно закону равнораспределения на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/2kT. Согласно закону среднее значение энергии одной молекулы <ε> будет тем больше, (при одинаковой Т), чем сложнее молекула и чем больше у нее степеней свободы. При определении <ε> необходимо учесть, что колебательная степень свободы обладает вдвое большей «энергетической емкостью» по сравнению с поступательной или вращательной. Это объясняется тем, что колебательное движение связано с наличием кинетической и потенциальной энергии, поэтому на колебательную степень приходится (1/2kT+1/2kT) = kT, т.е., одна половинка в виде εкин , а вторая - εпост.
Т.о. средняя энергия молекулы: <ε> = (i/2)(kT),
Где i- сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекул.
i = nпост+nвращ+2nкол , здесь n – число степеней свободы.
Для молекул с жесткой связью i совпадает с числом степеней свободы.
Б-16
Центральные силы.
Пространство и время в ньютоновской механике.
Внутренняя энергия и теплоемкость CvиCp идеального газа.
1. . Центральные силы.
В сякое силовое поле вызвано действием определенных тел. Сила, действующая на частицу в этом поле обусловлена взаимодействием этой частицы с телами. Силы, которые зависят только от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены вдоль прямой их соединяющей называются центральными (гравитационные, кулоновские, упругие). Центральные силы можно записать как зависит только от , — орт частицы относительно О. докажем что центральная сила является консервативной. Для частицы ; . Этот интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от вида функции и от и т.е. от пределов интегрирования. Если на частицу действует несколько центральных сил, то работа , а т.к. работа каждой из них не зависит от пути, то и не зависит.
3. Внутренняя энергия и теплоемкость идеальных газов
В идеальном газе молекулы не взаимодействуют между собой, внутренняя энергия одного моля газа:
Uм = NA<ε> = i/2 NAkT = i/2 RT . Uм = i/2RT.
Если вспомнить, что по определению: Cv = δQ/dT = dU/dT, поскольку, δQ = dU+pdV, а для изохорного процесса dV = 0.
Тогда Cv = (i/2) R , а, учитывая, что Cр = Cv+R, получим:
Cр = (i+2)/2 R
Следовательно, коэффициент Пуассона γ = Cp/Cv = (i+2)/i , таким образом, γ определяется числом и характером степеней свободы молекулы.
Согласно этой ф-лы для одноатомной молекулы i = 3 и γ = 1,67; жесткой двухатомной i =5 и γ = 1,4; упругой двухатомной i = 7, а γ = 1,29. В области температур, близких к комнатной, это хорошо согласуется с опытом. Однако, в широком температурном интервале это не так. Оказывается, что вращательная и колебательная энергии молекулы квантованы. При низких Т вращательные и колебательные степени свободы не возбуждены. Молекула Н2 , например,ведет себя как одноатомная в этой области температур, i = 3. В области Т ≈ 500К вращательные степени «разморожены» <ε>>εвращ и молекула Н2 ведет себя как жесткая двухатомная с = 3+2 = 5. При Т>1000К энергии <ε> достаточно для возбуждения колебательной степени свободы, «включены» все степени свободы, i = 7.
Б-17
Потенциальная энергия частицы в поле.
Опыт Майкельсона и Морли.
Барометрическая формула.
1. Потенциальная энергия частицы в силовом поле.
То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциальной энергии (функции состояния). Возьмем стационарное поле консервативных сил, например электростатическое поле в котором мы перемещаем частицу (заряд) из разных точек в некоторой фиксированной точке О (точка отсчета). Найдем работу сил поля. Поскольку работа сил поля не зависит от пути, то остаётся зависимость её только от положения т. (О— фиксировано) т.е. от предела интегрирования
Это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора точки . Функцию называют потенциальной энергией частицы в поле сил. Теперь найдем работу при перемещении частицы из т.1 в т.2. Т.к. она не зависит от формы пути: то или с учетом (*)
;
;
(**)
Правая часть представляет убыль потенциальной энергии, т.е. разность начальную и конечную значений потенциальной энергии. ( — приращение); ( — убыль). Т.о. работа сил Оля на пути 1—2 равна убыли потенциальной энергии. Так как работа сил поля определяется лишь разностью энергий в двух точек, а не их абсолютного значения, то частица в т.О можно приписать любое, наперед выбранное значение потенциальной энергии.
Однако, как только зафиксирована потенциальная энергия в одной, какой-либо точке, значения её во всех остальных точках поля определяется однозначно выражением (**). Эта формула позволяет найти вид для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу совершаемую силами поля между двумя любыми точками и представить её в виде убыли некоторой функции , которая и есть потенциальной энергией. Так и было ране сделано при вычислении работы гравитационной, упругой и силы тяжести. Отсюда видно, что потенциальная энергия частицы в данных полях имеет вид
— гравитационная, кулоновская +С – постоянная.
— упругой +С
— в поле тяжести.
Отметим еще раз, что потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной величины, что несущественно, т.к. во всех формулах входит разность её значения в двух положениях частицы, поэтому постоянная выпадает, и её опускают. Кроме этого важно заметить, что потенциальную энергию следует относить не к частице в поле а к системе взаимодействующих частиц и тела, создающего поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия зависит только от положения частицы относительно этого тела.