Волгоградский Государственный Университет

Физический Факультет

Игнатьев в.К.

Конспект лекций по курсу

Основы теории колебании.

Волгоград 2001.

Оглавление

Волгоградский Государственный Университет 1

Физический Факультет 1

Конспект лекций по курсу 1

Волгоград 2001. 1

Оглавление 2

Введение 6

Тема 1. Колебательные системы 7

1.1. Классификация колебательных систем 7

1.2. Уравнения линейных дискретных колебательных систем Вопрос 1 7

Теперь, применяя свойства преобразования Лапласа, запишем последнее уравнение в виде 8

1.3. Автономные системы, символические уравнения Вопрос 2 11

Рассмотрим генератор на транзисторе, представленный на рис. 10. Линейной подсистемой в 12

1.4. Неавтономные системы, параметрический генератор 13

1.5. Уравнение Лагранжа для колебательных систем Вопрос 3 14

1.6. Фазовое пространство, представление движения 15

Тема 2. Консервативные системы с одной степенью свободы Вопрос 4 17

2.1. Колебания математического маятника 17

Тогда мы можем утверждать, что 19

2.2. Метод последовательных приближений 20

Подставим это решение в (2.12), пренебрегая степенями  со второй включительно 20

Уравнение первого приближения соответственно будет 20

2.3. Свободные колебания в резонансном контуре с нелинейной ёмкостью без затухания Вопрос 5 21

Опять действуем точно также: установившуюся частоту разложим в ряд 22

Уравнение нулевого приближения в данном случае имеет вид 22

Подставляя решение для q₀, получаем 23

Соответственно 23

Тогда уравнение второго приближения, примет вид 23

Или, подставив решения для q₀ и q₁, получим 23

Тема 3. Свободные колебания в диссипативных системах с одной степенью свободы Вопрос 6 24

Теперь продифференцируем уравнение (3.1) по времени, тогда 24

3.1. Линейный контур с затуханием 24

Перейдём к полярным координатам: v = rcos, u = rsin, тогда 25

3.2. Метод медленно меняющихся амплитуд, укороченные уравнения 26

Вопрос 7 26

Введём безразмерное время  = ₀t, тогда в этом масштабе времени уравнение будет таким 26

3.3. Применение метода ММА к колебательным системам Вопрос 8 28

Введём безразмерное время  = ₀t; после дифференцирования по этой переменной, получим 28

Подставляя в укороченные уравнения (3.20) мы получаем 28

Следовательно, колебательный процесс в контуре описывается функцией 28

Вводя обозначение , , получим 29

Так как нет диссипации, то мы можем сказать, что . Это возможно в случае, если  = 0. Из этого следует, что  = ₀, т. е. мы теряем неизохронность колебаний (аналогично было в методе последовательных приближений). Таким образом, метод ММА не позволяет найти сдвиг частоты в контуре с квадратичной нелинейностью. Это связано с тем, что метод ММА  метод первого порядка. Чтобы этого избежать, необходимо взять вторые гармоники ряда Фурье. 29

Вводя, как обычно, новые переменные x = q/q₀ и  = ₀t, где , получим уравнение 29

Используя (3.15) и (3.16) для X и  имеем укороченные уравнения 30

Первое из этих уравнений домножим на 2X и сделаем замену y = X², тогда 30

После преобразований получаем: 30