Логика. (Конспекты по учебнику Бочарова-Маркина, а также Ивлева)

1. Предмет логики. Основные формы и приемы рационального познания. Принципы правильного мышления.

Логика одна из древнейший наук. Основы логики - Аристотель (4 в. до н. э.). Главное произведение - "Органон".

Логика - нормативная наука о формах и приемах интеллектуальной познавательной деятельности, осуществляемой с помощью языка.

Познание - процесс отражения мира с целью получения адекватного знания.

2 ступени:

(1) чувственная. Формы: ощущение, восприятие, представление. Инструмент - органы чувств.

(2) рациональная (интеллектуальная) Формы: понятие, суждение, научная теория - см. дальше. Инструмент - язык.

Особенности рационального мышления

- обобщенность (познается общее у разных предметов, законы, кот. они подчиняюццо)

- абстрактность

- активный и целенаправленный характер

- инструмент рац. познания - язык!

Язык - это знаковая система, предназначенная для фиксации, переработки и передачи информации.

Формы рационального мышления:

Понятие - мысль, обобщающая разнородные предметы в один класс посредством указания на признак, общий для этих предметов и отличающий их от остальных(пр, "государство, главой которого является монарх")

Суждение - мысль о наличии или отсутствии в действительности некоторой ситуации (пр, "Моцарт гениален") или наличии или отсутствии связи между ситуациями. Суждение можно оценить как истинное или ложное. Суждение может быть выражено в языке с помощью разных предложений (пр, "Снег белый" и "Свойство белизны присуще снегу")

*Высказывание - предложение, выражающее определенное суждение.

Научная теория - система понятий и суждений (высказываний), с помощью кот. устанавливаются закономерности функций предметов некоторой предметной области (пр, множество чисел). Средство объяснения и предсказания.

Приемы рационального мышления.

1. Определения - процедура придания точного смысла термину (языковому выражению).

2. Классификация - процедура ступенчатого распределения предметов из класса (в подклассы).

3. Рассуждение - процедура пошагового обоснования некоторого суждения. Простейшая форма - умозаключение.

Умозаключение - это непосредственный перех от одного или нескольких высказываний А1, А2,...Аn к высказыванию В.

А1, А2,...Аn - посылки

---------------------

В - вывод

Пр,: Ни один сумасшедший не допускается к выборам.

Все сыновья Гегеля - сумасшедшие.

-----------------------------------------------------------------------------

Ни один сын Гегеля не допущен до выборов.

4. Доказательство - обоснование истинности суждения.

5. Опровержение - обоснование ложности суждения.

6. Научная полемика.

7. Постановка и решение проблем.

8. Выдвижение и проверка гипотез.

9. Измерение.

10. Эксперимент.

Задача логики - ответ на вопрос, как должен мыслить человек, чтобы достичь истины? Для этого она вырабатывает нормы и критерии правильного мышления.

Принципы правильного мышления (Аристотель)

1. Принцип тождества. Одинаковые языковые выражения в одном и том же контексте должны иметь одно и то же значение. (А=А).

2. Принцип непротиворечия: А и неверно А не могут быть одновременно истинны.

3. Принцип исключенного третьего. А и неверно А не могут быть одновременно ложны.

4. Принцип достаточного основания (Лейбниц):

2. Понятие логической формы. Способы выявления логической формы.

Логическая форма - выражение, фиксирующее ту часть содержания контекста, которая остается в результате отвлечения от конкретных содержаний нелогических терминов или же от содержаний простых высказываний, входящих в данный контекст.

Способы выявления логической формы зависят от того (1) учитывается ли внутренняя структура простых высказываний, (2) какие выделяются категории нелогических терминов.

(1) Замена терминов параметрами

(2) С помощью формализованного (искусственного) языка.

3. Понятие логического закона и правильного умозаключения.

Не все истинные высказывания являются законами. Логический закон зависит от формы.

Пр, высказывание "Иванов является отличником или неверно, что Иванов является отличником" истинно в силу формы.

p| p или неверно p

---------------------------

и| и и л

л| л и л

Логический закон (логически истинные высказывания) - такая логическая форма суждений, которая при любой интерпритации входящих в нее параметров принимает значение истины.

Логически ложные высказывания - ложные в силу своей формы.

Те высказывания, которые не являются ни логически истинными, ни логически ложными, называются логически недетерминированныим.

Правильное умозаключение - такое умозаключение, которое гарантирует истинность заключение при условии истинности посылок.

Неправильное умозаключение - такое умозаключение, в кот. хотя бы в одной интерпритации посылки истинны, а заключение ложно.

Логическое следование - это отношение между предпосылками и заключением, когда при любой интерпритации параметров, если посылки истинны, то и заключение истинно, т. е. нет такой интерпритации, когда посылки истинны, а заключение ложно.

4. Предложение, суждение и высказывание. Классификация высказываний.

Повествовательное предложение - это некоторый знак, выражающий мысльоб отсутствии или присутствии ситуации.

Суждение - мысль о наличии или отсутствии ситуации.

Значение предложения - истина или ложь

Смысл предложения - суждение.

Одно и то же суждение может быть выражено по-разному. (пр, "Медь электропроводна" и "Свойство электропроводности присуще меди")

Одно и то же предложение может выражать разные суждение (пр, ""Торпедо" обыграло "Динамо"")

Высказывание - повествовательное предложение с четко зафиксированным смыслом.

Простые высказывания - в их состав не входят никакие другие высказывания.

Сложные высказывания - образуются из других высказываний с помощью пропозициональных связок.

Внешние модальности: необходимо, что; обязательно; возможно - это не знаки функций истинности, это термины, дающие квалификацию различного рода высказываниям.

Внутренние модальности - предицирующие связки: : необходимо присущее, случайно возможное, необходимо не присущее.

Асертарические высказывания константируют ситуацию, сам факт.

Моделизированные к тому же еще дают дополнительную оценку квалифицирующего характера той или иной ситуации (содержат в своем составе мродальности)

5. Сложные высказывания, их виды, условия истиности и ложности.

Виды.

1. Высказывания с внешним отрицанием.

2. Конъюнктивное высказывание.

3. Дизъюнктивное высказывание.

4. Строго дизъюнктивное высказывание.

5. Суждения эквивалентности.

6. Импликативное высказывание.

Модальности.

необходимо

возможно

случайно

6. Понятие формализованного языка. Язык классической логики высказываний.

Формализованные языки (пр, язык классической логики высказываний и логики предикатов)

Формализованный язык нужен для:

1. четкой фиксации информации.

2. построения логических теорий, выделяются законы и формы правильных рассуждений.

Построение формализованного языка.

1. Задается алфавит, т. е. исходные символы:

а) нелогические символы

б) логические символы

в) вспомогательные, технические символы

2. Задаются правила образования различных выражений языка.

а) Формулы - первый из типов правильно построенного языкового выражения формализованного языка, аналог предложения, его логическая форма.

Язык классической логики высказываний. (в нем игнорируется внутренняя структура простых высказываний)

1. Алфавит:

а) нелогические символы - пропозициональные переменные - их количество бесконечно: p, q, r, s...

б) логические символы - знаки функций истинности - пропозициональные связки: *отрицание*, &, V, *импликация*, *тождественое равенство*

в) технические символы - (,) (скобки)

2. Правила образований языковых выражений. Формулы.

а) всякая пропозициональная переменная является формулой.

б) если А - формула, то *неверно*А - тоже формула.

в) если А и В формулы, то

А&В, АVВ, А*импликация*В, А*тождественно равно*В - тоже формулы.

г) ничто другое формуолй не является.

7. Классическая логика высказываний: язык, табличные определения связок, тождественно-истинные, тождественно-ложные, выполнимые и опровержимые формулы.

I Язык классической логики высказываний. (в нем игнорируется внутренняя структура простых высказываний)

1. Алфавит:

а) нелогические символы - пропозициональные переменные - их количество бесконечно: p, q, r, s...

б) логические символы - знаки функций истинности - пропозициональные связки: *отрицание*, &, V, *импликация*, *эквиваленция*

в) технические символы - (,) (скобки)

2. Правила образований языковых выражений. Формулы.

а) всякая пропозициональная переменная является формулой.

б) если А - формула, то *неверно*А - тоже формула.

в) если А и В формулы, то

А&В, АVВ, А*импликация*В, А*эквиваленция*В - тоже формулы.

г) ничто другое формулой не является.

II Правила интерпретации пропозициональных переменных – нелогических символов

Y1 y1 y2

и и и

л и л

л и

л л

III Интерпретация логических символов (строятся таблички истинности для каждой пропозициональной связки)

IV Методы установления логических отношений. (совместимость по истинности/ложности и др)

А1, А2...А n -совместимы по истинности тогда и только тогда, когда (A1&А2...&An) - выполнима

А1, А2...А n -совместимы по ложности тогда и только тогда, когда (A1VА2...VAn) - опровержима

А1, А2...А n - |= тогда и только тогда, когда (A1&А2&...&An) *импликация* В тождественно-истинная формула.

8. Основные типы логических отношений между высказываниями.

Фундаментальные отношения.

1. Совместимость по истинности

2. Несовместимость по истинности

3. Совместимость по ложности.

4. Несовместимость по ложности.

5. Отношение логического следования.

6. Отсутствие отношения логического следования.

Производные отношения - комбинация фундаментальных отношений.

1. Противоречие (контрадикторность) - несовместимость оп истинности и по ложности.

2. Противоположность (контрарность) - несовместимость по истинности и совмеситмость по ложности.

3. Подпротивоположность (субконтрарность) - совместимость по истинности и несовместимость по ложности.

4. Отношение логического подчинения - А|=В, но не наоборот!!!

5. Логическая эквивалентность - А|=В и B|=A

6. Логическая независимость - совместимость по истинности, совместимость по ложности, но не А|=В и не B|=A

9. Табличный метод проверки умозаключений. Основные способы правильных рассуждений в логике высказываний.

1. Умозаключение.

2. Непрямые способы аргументации - это прием, позволяющий делать вывод о существовании некоторого основного рассуждения при осуществлении одного или нескольких вспомогательных рассуждений.

Непрямой способ аргументации корректен, если и только если он гарантирует сохранение логического следования при переходе от вспомогательных рассуждений к основному.

а) рассуждение по правилу дедукции

б) рассуждение от противного

в) рассуждение сведением к абсурду

г) рассуждение разбором случаев

11.Натуральные исчисления высказываний: правила вывода, понятия вывода, доказательства, теоремы.

Существуют 2 способа построения логической системы:

• Семантический (логические теории)

• Синтаксический (исчисления)

Типы исчислений: 1. Аксиоматические. Исходные дедуктивные постулаты – аксиомы и правила вывода.

2. Натуральные исчисления. (Естественные) задача – моделировать естеств способы рассуждения + моделирование естеств корректных рассуждений. Процедура поиска вывода – проще. Формальные отличия от аксиоматических – нет аксиом. В качестве дедуктивных постулатов только правила вывода!

Правила вывода бывают 2 типов: прямы и непрямые:

Прямые – правила позволяющие переходить от одной или нескольких формул определ типа к формулам опред типа А1,А2,А2

В

Непрямые – от утверждения о выводимости перейти к утверждения другой выводимости

Г, А |-- В

Г |-- А > В

Существуют 3 типа натуральных систем: 1. Исчисления, в которых качестве дедуктивных постулатов используем только прямые правила вывода

2. Исчисления, в которых качестве дедуктивных постулатов используем только непрямые правила вывода

3. Используются и прямые и непрямые правила вывода

Рассмотрим только одну систему.

1. Задается язык.

Исходные связки - &, v, >, ┐ . Следовательно 5 типов формул. Остальные связки могут быть введены по определению

1. Дедуктивные постулаты. Только прямые правила вывода.

Две группы правил – введение и исключение

Введение Исключение

А, В А&В А&В

А&В А В

А В АvВ, ┐А

АvВ АvВ В

В А >В, А , где С – последнее из неисключенных допущений

С>В В

В, ┐В ┐┐А , где С – последнее из неисключенных допущений

┐С А

Построение вывода. ……

Вывод формулы А из множества допущений Г - это непустая конечная последовательность формул, такая что каждая формула этой последовательности есть либо допущение (посылка) из Г; либо любая формула, принятая в качестве дополнительного допущения; либо формула полученная из предыдущих по одному из правил вывода.

При применении правил введение импликации и отрицания все формулы вывода, начиная c последнего неисключенного допущения и вплоть до результата применения этих правил, считаются исключенными из дальнейшего построения вывода (к ним запрещается далее применять правила вывода).

Все формулы, введенные в качестве дополнительных, должны быть исключены из вывода.

Отношение выводимости. Из Г выводима А, если существует вывод А из множества допущений Г.

Доказательство формулы А – вывод формулы А из пустого множества допущений.

Теорема. А – теорема, если существует доказательство формулы А.