4.Методы многомерного анализа

Признаки использования различных методов:

1. условия постановки задачи;

2. особенности объекта исследования:

3. линейная или нелинейная функция;

4. коррелируемость или независимость элементов;

5. учет времени (динамичность или статичность);

6. возможность внесения искусственного возмещения (пассивный или активный эксперимент, последний из которых позволяет извлечь больше информации).

Методы многомерного статистического анализа:

1. Дисперсионный анализ;

2. Регрессионный анализ;

3. факторный (компонентный) анализ;

4. дискриминантный анализ.

Группы методов многомерного статистического анализа:

1. связанные с изучением источника рассеивания случайных величин (СВ), т.е. методы дискриминации, позволяющие разделить случайные возмущения на отдельные факторы;

2. связанные с решением задач идентификации, т.е. подтверждения соответствия модели и объекта.

5.Система случайных величин

Случайная величина X может зависеть от нескольких СВ, т.е. X(X1,X2,...,Xn).

Для большинства практических задач изучение многомерных СВ осуществляется путем сведения её к ряду более простых (декомпозиция). Обычно достаточно рассмотреть систему двух СВ, что обеспечивает хорошую наглядную интерпретацию результатов и их отображение на экране ЭВМ. Реальные же детерминированные объекты могут содержать систему из нескольких сотен СВ.

Рассмотрим систему СВ XY

F(X,Y)=P{X<x,Y<y}

Т.е. вероятность события, которое заключается в том, что значение СВ X<x заданной функции, а значение СВ Y<y.

F(X,Y) – детерминированная функция, а не случайная.

Из закона распределения двух СВ формально можно получить две одномерные функции распределения, которые называются маргинальными распределениями.

Т.е. вероятность события, которое заключается в том, что X<x,Y< (детерминированное событие).

Вероятность можно выразить через двумерную функцию плотности распределения.

Функция плотности распределения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве.

Свойства двумерной и n-мерной функции f(x,y):

f(x,y) 0

Для маргинального распределения плотности справедливо:

и показывают, как можно осуществить декомпозицию задачи анализа системы СВ.

Справедлива следующая формула, если и характеризуют независимые СВ X,Y:

f(x,y)= *

Построение маргинальных распределений – не единственный способ декомпозиции системы СВ. Второй способ – построение условных распределений. Условное распределение интерпретируется как сечение многомерного распределения системы СВ. Для многомерных нормальных распределений - сечения вертикальной плоскостью (гауссовы одномерные распределения).

Справедливы следующие формулы:

Т.е. двумерное распределение можно выразить через произведение маргинального и условного распределений.

Две СВ называются зависимыми, распределение одной зависит от распределения другой.

Для многомерной СВ существуют числовые характеристики, которые принято записывать в специальной сжатой форме. Наиболее известны математическое ожидание и дисперсия.

Начальный момент СВ порядка ks:

Центральный момент СВ:

Характеристикой связи двух СВ является второй смешанный момент:

Смешанные моменты – отличительная черта многомерных распределений от одномерных.

Ковариация характеризует степень зависимости СВ X,Y:

Часто связь СВ характеризуется коэффициентом корреляции, которая описывает только их линейную связь:

С помощью смешанных моментов более высоких порядков можно выявлять нелинейные связи СВ. На практике достаточно линейных связей.