Пензенский государственный университет

Кафедра «Экономическая кибернетика»

Конспект лекций по дисциплине

Многомерные статистические методы (для специальности 06.18.00 «Математические методы в экономике»)

Составитель: профессор каф. ЭК

д.т.н., профессор В.Б. Лебедев,

Конспектировали студ. гр. 00ЭЧ1

Романов С.В., Пятачкова Е.А.

г. Пенза 2009

Содержание

Содержание 3

1.О статистических методах в экономике 5

2.Статистические методы 8

3. Многомерные статистические методы: свойства недетерминированных объектов 9

Табл.№1 10

Табл.№2 10

4.Методы многомерного анализа 11

5.Система случайных величин 12

6.Многомерный нормальный закон распределения 15

7.Статистические выводы и оценивание 19

7.Критерии оценивания в больших выборках 20

8.Метод наименьших квадратов 23

Проведение статистического эксперимента для МНК 23

9.Методы многомерного анализа 26

10.Дисперсионный анализ 27

N-1 = (K-1) + (N-K) 28

11.Статистическая обработка результатов дисперсионного анализа 29

12.Основная схема дисперсионного анализа 30

Таблица основной схемы ДА 30

13.Применение МНК для дисперсионного анализа 31

14.Планы дисперсионного анализа для изучения источников рассеивания 34

Однофакторный ДА без ограничений на рандомизацию 34

Блочные рандомизированные планы ДА 35

Гипотезы проверяются по критерию Фишера. 37

15.Дисперсионный анализ при многосторонней классификации 37

Таблица ДА при многосторонней классификации 38

Таблица ДА 38

16.Планы многоступенчатой классификации 39

17. Регрессионный анализ 40

18.Задача идентификации в регрессионном анализе 40

19.Оценка результатов регрессионного анализа 45

20.Проверка воспроизводимости 45

21.Проверка значимости 46

22.Проверка адекватности 46

23.Метод гребневой регрессии в регрессионном анализе 48

24.Метод главных компонент 50

25.Факторный анализ 53

26.Корреляционный анализ 55

27.Планирование эксперимента в задачах идентификации 56

28.Общие критерии оптимальности планов эксперимента 57

29.Ортогональный план эксперимента 60

30.Построение матрицы планирования полного факторного эксперимента 62

- условный фактор при постоянном члене уравнения регрессии, 62

Из общей теории РА известно, что 64

31.Дробный факторный эксперимент 65

32.Анализ подбираемых моделей при ортогональном планировании 67

1.О статистических методах в экономике

Ключевой момент в решении задач управления в области экономики – наличие неопределенности. Управление финансовыми активами преследует цель достижения определенного экономического эффекта в будущем. Будущее не ясно, поэтому управление протекает в условиях неопределенности относительно как самих финансовых активов, так и их экономического окружения. Неопределенность порождает риск неэффективного управления такого, что намеченные цели не достигаются. Например, решение о вложении инвестиций, первоначально признанное экономически обоснованным, может перестать быть таковым из-за ухудшения рыночной конъюнктуры. Поэтому задача минимизации риска неэффективного управления финансами замыкается на задачу борьбы с неопределенностью.

Исторически первым способом учета неопределенностей было изобретение вероятности. Успешное применение вероятностных методов в статистике конца 19 века (при исследовании статистически однородных демографических процессов) сделало методы теории вероятностей широко распространенными во всех сферах жизни, особенно с развитием технической кибернетики во второй половине 20 века. Наиболее оправданным такое применение было там, где речь шла об однородных событиях массового характера – теориях массового обслуживания и технической надежности.

Начиная с 50-х годов 20 века, в академической науке появились работы, ставящие под сомнение тотальную применимость вероятностной теории к учету неопределенностей. Авторы отмечали, что классическая вероятность аксиоматически определена как характеристика генеральной совокупности однородных случайных событий. В том случае, когда статистической однородности нет, применение теории вероятностей незаконно.

Реакцией на это стали фундаментальные работы Севиджа, Пойя, Фишберна, Кайберга, Дефинетти и др. ученых, где обосновывалось введение неклассических вероятностей, не имеющих частотного смысла, а выражающих опознавательную активность исследователя случайного процесса или лица, вынужденного принимать решение в условиях недостатка информации. Так появились субъективные (аксеологические) вероятности. При этом большинство результатов из теории классических вероятностей перешли в теорию аксеологических вероятностей.

Теория аксеологических вероятностей применяется при построении импликативных схем дедуктивного вывода интегральных вероятностей сложных событий. Одновременно с развитием данной теории возникли и другие подходы: min-max подход, теория нечетких множеств.

Min-max подход ставит перед собой цель отказаться от учета неопределенностей «весовым методом», когда интегральный эффект оценивается в виде свертки единичных эффектов (например, взвешенная средняя). Из всего множества допустимых реализаций (сценариев) выбирают два – наихудший и наилучший. При этом лицу, принимающему решение, ставится в обязанность отреагировать на ситуацию таким образом, чтобы добиться наилучших результатов в наихудших условиях. Поведение лица, принимающего решение. В данном случае считается оптимальным. Развитием этого подхода является метод Гурвица.

Теория нечетких множеств – теория, в которой нечетким лингвистическим описаниям ставятся в соответствие специальные функции, выражающие степень принадлежности значений измеряемых параметров данным описаниям. Эти функции называются функциями принадлежности и заключаются в интервале [0,1].

Однако в теории нечетких множеств для функций принадлежности, которые аналогичны вероятностям событий, выполняются не все законы теории вероятностей. Это соответствует тому, что в формальной логике не действует закон «исключения третьего».

Начиная с конца 70-х годов 20 века, теория нечетких множеств применяется в экономике. Итак, на стороне вероятностных методов остается традиция, а на стороне теории нечетких множеств – удобство в инженерном применении.