8. Что такое линеаризация модели? Как выполняется линеаризация простой экспоненты? Как используется это преобразование в оценке параметров модели и получении интервального прогноза?

Для описания процессов существуют линейные регрессионные модели, в которых переменные имеют первую степень (модели, линейные по переменным), а параметры выступают в виде коэффициентов при этих переменных (модели, линейные по параметрам). Однако соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом могут возникать неоправданно большие ошибки.

Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства — трудом, капиталом и т. п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и другие. Для оценки параметров нелинейных моделей используются несколько подходов, один из них – линеаризация.

Этот подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными

Пример линеаризации простой экспоненты

y_t^=b*m^t : ln y^=lnb+t*lnm. Перейдя от значений y_t к Yt=ln y_t , легко получить оценку параметров модели Y_t^=a₀+a₁t где a₀=lnb, a₁=lnm. Отсюда b=a^e0, m=a^e1

9. Метод оценки параметров моделей линейного и экспоненциального тренда по двум точкам.

Когда применяют линейную модель для прогнозирования, предполагают, что и в дальнейшем развитии рассматриваемого показателя сохранится постоянный цепной прирост.

На этом свойстве постоянства цепного прироста базируется метод построения линейной модели по двум точкам на основе Δy¯ – среднего цепного прироста: Δy¯ =(y_n-y₁)/(n-1). Модель можно записать в виде y^_t=y₁+ Δy¯ * (t-1). Другая форма записи: y^_t+τ=y_t+ Δy* τ , где τ - период упреждения, y_t – уровень ряда, принятый за базу экстраполяции.

Экспоненциальную модель можно представить по двум точкам на основе К¯ - среднего коэффициента роста и записать в виде y^_t= y_{1 *} K¯^t-1 Другая форма записи y^_{t+ τ}=y_{t *} K¯^τ , где τ - период упреждения, y_t – уровень ряда, принятый за базу экстраполяции

10. Основным методом получения оценок параметров модели детерминиро­ванной составляющей является метод наименьших квадратов (МНК). Суть МНК состоит в том, чтобы путем оптимизации параметров модели минимизи­ровать значение функционала, представляющего сумму квадратов отклонений значений, рассчитанных по модели, от фактических значений:

(3-15)

Здесь , - модельное значение детерминированной составляющей.

При минимизации функционал Q рассматривается как функция от неиз­вестных параметров модели.

Суть МНК при использовании набора базисных функций состоит в мини­мизации суммы квадратов отклонений интерполяционного полинома (3.13) от заданной функции в узлах интерполяции. Эта сумма имеет вид

В матричной форме систему (3.19) можно записать в виде:

Z * А = В,

где Z - матрица СЛАУ (3.19) размерности m x n,

В - правая часть СЛАУ (вектор),

А - вектор, представляющий собой решение СЛАУ.

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений. Решив эту систему, найдем а_и а₂, а_т - коэффициенты обобщенного полинома (3.13), миними­зирующие сумму квадратов отклонений полинома от заданной функции в узлах интерполяции, так называемые МНК-оценки коэффициентов интерполяционно­го полинома (3.13).

СЛАУ (3.19)—(3.20) является нормальной системой по отношению к системе (3.14). Матрица Z симметрична, следовательно, она является нормаль­ной: матрица Z называется нормальной, если выполняется условие Z^T•Z = Z•Z^T. Нормальная система всегда совместна, и обеспечивает мини­мум нормы невязки системы (3.14). Ее решение единственное в случае, если функции линейно независимы [10].

Для получения нормальной СЛАУ в матричном виде нужно исходную СЛАУ (обе части) умножить слева на транспонированную матрицу этой СЛАУ.

Однако обусловленность нормальной системы всегда хуже, чем исходной. На практике это означает, что мы должны ограничиться небольшим числом ба­зисных функций, в частности, полиномом малой степени (обычно т <10). Ис­кусство аппроксимации состоит в том, чтобы подобрать модель с небольшим числом параметров, удовлетворительно описывающую аппроксимируемую функцию. В общем случае выбор базисных функций - непростая задача.

Методы исследования и решения СЛАУ подробно рассмотрены в [10]. От­метим лишь, что в среде MathCAD или Excel СЛАУ (3.19)-(3.20), при условии хорошей обусловленности, может быть решена методом обратной матрицы:

A = Z^-1 * B. (3.21)