- •1.Матрица. Линейные операции над матрицами. Действия над матрицами.
- •2.Определитель 2 –го и n-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение.
- •3.Системы линейных уравнений. Метод Крамера.
- •4.Системы линейных уравнений Метод матричный.
- •5.Системы линейных уравнений Метод Гаусса.
- •6.Векторы, операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •7.Векторы, операции над векторами. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •8.Орт вектора. Коллинеарность и ортогональность векторов.
- •9.Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- •10.Прямая на плоскости: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •11 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •12 Вычисление угла между прямыми
- •16.Вычисление угла между плоскостями.
- •17.Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •18.Прямая в пространстве: общие, параметрические и канонические уравнения, их эквивалентность; уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
- •19.Плоскость и прямая в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости.
- •20 Кривые второго порядка
- •21 Основные элементарные функции и их свойства.
- •22.Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Нечетность, периодичность.
- •23.Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •24.Основные свойства бесконечно малых величин.
- •25.Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин.
- •26.Первый замечательный предел.
- •27.Второй замечательный предел.
- •28.Непрерывность функции.
2.Определитель 2 –го и n-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение.
Правило вычисление определителя n-го порядка.
Определитель - число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го порядка А=(а11) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса. Правило Сарруса: определитель 3-го порядка равен алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «-». .
Свойства определителей. Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то det этой матрицы равен 0. 2) При транспонировании матрицы её определитель не изменяется. 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и det этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её det равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то det этой матрицы может быть представлен в виде суммы 2-х определителей.
Разложить определитель можно по любой строке или столбцу, то при разложении по полученной в результате линейной комбинации строке, определитель равен произведению ненулевого элемента этой строки на его алгебраическое дополнение (взятое с соответствующим знаком).
3.Системы линейных уравнений. Метод Крамера.
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.
Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.
Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
1.Система может иметь единственное решение.
2.Система может иметь бесконечное множество решений. Например , . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3.И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.
Рассмотрим способы нахождения решений системы.
Теорема (правило) Крамера
Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца.
Далее рассмотрим коэффициенты при x2:
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.