30. Расчет параллельно-рекурсивного ких-фильтра при аппроксимации частотной характеристики лис-системы.

Аппроксимация частотной характеристики ЛИС-системы является традиционной задачей проектирования цифровых фильтров|. Частотная характеристика синтезируемого фильтра (спектр Фурье его импульсной характеристики)

где ω-безразмерный вещественный частотный аргумент, должна здесь при­ближенно соответствовать некоторой требуемой частотной характеристике . Будем минимизировать погрешность аппроксимации, которую, при­нимая во внимание периодичность спектров последовательностей , запишем в виде

где — вещественная четная неотрицательная весовая функция. С уче­том формул и (8.94) представим выражение (8.95) в более конкретной форме:

где — частотные характеристики параллельных звеньев фильтра. И далее через условие (8.87) перейдем к системе линейных уравнений вида (8.88) и ее решению (8,83), в которых элементы матрицы В и вектора С определяют­ся следующим образом:

Коэффициенты фильтра, найденные по формуле (8.83) с использованием (8.97), обеспечивают минимум ошибки аппроксимации (8.96);

где R — подлежащий максимизации показатель качества фильтра, вычисляе­мый по формуле (8.84). На практике может оказаться более удобным исполь­зовать вместо спектральных функций, входящих в приведенные выше выражения, соответствующие им последовательности. Опираясь на свойства преобразования Фурье , несложно трансформировать соотношения (8.97) и (8.98) к следующему виду:

где

- последовательность, соответствующая спектральной весовой функции .

- импульсная характеристика идеального (аппроксимируемого) фильтра. При переходе к двумерным сигналам полученные расчетные соотношения

претерпевают непринципиальные изменения. Выражение для погрешности

вместо (8.95) принимает вид

где — вещественная неотрицательная весовая функция, облада­ющая свойством центральной симметрии: , — аппроксимируемая частотная характеристика, — частотная характеристика рассчитываемого фильтра. Вместо соотношений (8.97) следует использовать

где — частотная характеристика параллельных звеньев фильт­ра, а вместо соотношений (8.99), (8.100) —

где —двумерные последовательности, соответствующие спектральным функциям и . Связь между всеми последовательностями и их спектрами определяется двумерным преобразова­нием Фурье . Например,

заметим, что если минимизировать невзвешенную погрешность аппрокси­мации, то нет необходимости рассчитывать фильтр с использованием частот­ного подхода. В силу теоремы Парсеваля [16, 25], при отсутствующих (равных единице) весовых функциях критерии (8.95) и (8.101) эквивалентны соответ­ственно критериям (8.85) и (8.91). При этом задача расчета фильтра с требуе­мой частотной характеристикой сводится к задаче аппроксимации импульсной характеристики, решение которой в вычислительном плане проще. Од­нако в общем, виде весовых функций аппроксимация импульсной и частот­ной характеристик приводит к разным фильтрам. В этой связи рассмотрим отдельно частные случаи выбора спектральных весовых функций, имеющие важное практическое значение.